LIV.IV, CHAP. I. — COURBES EN COORDONNÉES RECUL. 2G
-jp il est facile de concevoir qu’il en est ainsi aux points
multiples d’une courbe algébrique quelconque. En effet, la valeur de y' est donnée par la formule
f'Ax.y)'
Or, f (x,y) étant un polynôme entier par rapport aux variables x et y, les dérivées partielles f£(x, y), fy (x, y) sont aussi des polynômes entiers par rapport aux mêmes variables. Si ces polynômes ne devenaient pas nuis, lorsqu’on y remplace # et y par les coordonnées du point multiple, yf aurait en ce point une valeur unique, tandis qu’elle doit avoir autant de valeurs différentes qu’il y a de branches qui passent au point multiple. Dans le cas actuel, l’équation étant bicarrée peut être résolue par rapport à y ; à chaque valeur de y correspond une dérivée qui a une valeur déterminée, quand on y remplace x par zéro. Cette valeur de la dérivée est, ainsi que nous l’avons re-
marqué au n° 298, la limite du rapport —, lorsque x tend
OC
vers zéro. On peut obtenir plus simplement la limite de ce
rapport sans résoudre l’équation. Posons -=<, ou y= Ix; en
OC
substituant dans l’équation (1), il vient
Lorsque x est très-petit, l’une des valeurs de est voisine de l’unité, l’autre est négative et très-grande ; donc, en se bornant
il \F<
0 Vi 1
Fi|*. 1«S.
aux valeurs réelles de y, on
a limite — = ± i. Les tan-
as
gentes au point O sont les bissectrices des angles des x axes.
3» a>c. La seconde condition est encore satisfaite quelle que soit x, qui peut
varier de — /c* + «! à
m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
+ Pour x=zO, la valeur positive de y* est a’— c*.
Prenons, sur l’axe des y, OB=OB'= /<ïC^*,la courbe passe par les deux points B et B' (fig. 165). Si l’on fait variera; de O à
y/ c» + a1, y* part de a* — c* et devient nul; le lieu est une courbe fermée qui a pour sommets les points A, A', B, B'.
Pour que le cercle coupe la courbe, il faut que l’on ait a<cf/ 2. Lorsque cette condition est satisfaite, l’ordonnée croît de B en C et diminue de G en A; l’ordonnée du point B est minimum, celle du point C maximum.
Si, au contraire, on a o>c^/ 2, le cercle est intérieur à la
courbe, dont l’ordonnée diminue de B en A (fig. 166); l'ordonnée du point B est maximum. Dans ce cas on donne à la courbe le nom d’ovale de Cassini. La figure suppose que a est égal à c /a.
Fig. 166.
SOI — Exemple II. Construire la courbe (1) 2ÿ5 — -f- a:'=0.
Cette équation , étant du cinquième degré par rapport à chacune des variables, ne peut être résolue par rapport à aucune d’elles ; elle ne renferme que des termes de degrés impairs; donc l’origine est centre de la courbe. Examinons combien l’équation, dans laquelle on considère y comme étant l’inconnue, a de racines réelles pour les diverses valeurs attribuées à x.
Supposons d’abord x positive, l'équation (1) aura au plus deux racines réelles positives, puisque son premier membre n’a que deux variations. La dérivée du premier membre par rapport à y est
Cette dérivée est négative depuis y =0 jusqu’à y— i/cc.
