LIV.IV,CHAP.I— COURBES EN COORDONNÉES RECTIL

positive depuis celte valeur jusqu’à l’infini. Le premier membre, qui est positif pour t/=0, décroît, lorsque y varie de

0 à 1/ x , et croît ensuite indéfiniment. L’équation a donc deux racines positives, ou elle n’en a pas, suivant que la valeur

yz=.\/x rend le premier membre négatif ou positif ; c’est-àdire suivant que l’on a a?,0<;27, ouæ10>27. Si l’on change y en — y, le premier membre offre une variation et une seule ; donc l’équation a une racine négative et une seule.

Pour &=0, les ciuq racines de l’équation (1) sont nulles ;

x croissant de 0 à VTl , l’équation a deux racines positives

et une racine négative; lorsque x atteint la valeur v27 , les deux racines positives deviennent égales, puisqu’elles an-

nulent la dérivée. Quand x dépasse l/27 , l’équation n’a

plus qu’une racine réelle qui est négative. Lesdeux racines positives donnent uneboucle OABO (fig. 167), . comprise dans l’angle YOX , et la racine négative une branche infinie OC placée dans l’angle Y'OX. Aux valeurs négatives de x correspondent une boucle OA^O et une branche infinie OC', symétriques des précédentes par rapport au centre.

La valeur maximum de l’abscisse pour la boucle OÀBO est

1/27 , elle correspond à un point A pour lequel la tangente est parallèle à OY, puisque les coordonnées de ce point annulent f'y (x, y). En considérant y comme variable arbitraire, on trouve que le maximum de y pour la même boucle

est l/4 ; ce maximum donne un point B, pour lequel la tangente est parallèle à OX.

La méthode précédente de discussion est applicable toutes les fois que l’équation ne contient que trois termes ; car on

2f>6 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

sait toujours déterminer le nombre des racines réelles d’une équation trinôme à une seule inconnue.