L1V. IV, CHAP.I.— COURBES EN COORDONNÉES RECTIL
Les numérateurs ne s’annulant pour aucune valeur réelle de t ne changent jamais de signe. Les valeurs de a; et de y
deviennent nulles pour <=-, infinies pour <=0, ou t = i.
là
Si l’on fait varier l de — »à 0, a; est négatif et décroît de 0 à — ao, y est positif et croît deO à l’infini; on obtient ainsi la branche infinie OA (fig. 168).
La variable l allant de 0 à-^ , a; et y deviennent positifs et
décroissent de ao à 0, ce qui donne la branche infinie OB.
La variable t allant de - à d , x et y sont négatifs et dé-
là
croissent de Oà— », on a la branche infinie OC. Le coefficient
angulaire de la tangente en 0 à la branche BOC est -.
Enfin, si t varie de 1 à oo , x et y deviennent positifs et décroissent de oo à 0, on obtient la branche infinie OD.
Lorsque l’équation entre x et y ne renferme que deux groupes de termes, l’un du degré m, l’autre du degré m — 1, si l’on prend, comme nous venons de le faire, pour variable
auxiliaire le rapport > Ie8 coordonnées x et y sont des
fonctions rationnelles de cette variable. Lorsque l’équation contient trois groupes de termes , le premier du degré m, le second du degré m — 1 , le troisième du degré m — 2, en conservant la même variable auxiliaire, les coordonnées s’ob-
lellre D, initiale du mol dérivée ; et on indique la variable par rapport à laquelle on prend la dérivée en écrivant cetle variable comme un indice audessous de la lettre D et un peu à droite. Ainsi D as et D,y indiquent les dérivées des fonctions x et y par rapport à la variable t, D^y la dérivée de y par rapport à x.
tiennent par la résolution d’une équation du second degré, et on peut encore suivre leurs variations simultanées.
304— Exemple II. Construction de la courbe
(t) x*y* — xy — x — 2=0.
Si l’on pose xy = t,
on obtient x— ’tv~C
On peut considérer la courbe comme étant définie par les équations
Examinons comment varient x et y , lorsqu’on fait varier
la variable auxiliaire t de — oo à -f-oo. Pour cela
prenons les dérivées des deux fonctions, on a
Fig. 169.
La valeur de D(x s’annule pour deux valeurs a et 6 de t comprises,la premièreentre
. — - et — 2, la seconde entre — t et 0. La valeur de Diÿ s’an-
nule pour trois valeurs c, d, e de t, comprises, la première
entre — - et— 2, la seconde entre —2 et 0 et la troisième entre
Oetl . On reconnaît facilement, en outre, que l’on a a<c, d<lb. Cela posé, considérons la suite des quantités
— oo, a, c, — 2, — 1 , d, b, e, +t, oo, rangées par ordre de grandeur. Si l’on fait varier t de ooàn, x est négatif, part de 0 et décroît ; y est positif, part de l’infini
L1V. IV, CHAP. II.— CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ. 269 et décroît également; on a la branche AB asymptote à l'axe OY (fig. 169).
La variable t allant de a à c, x est négatif et croissant, y positif et décroissant ; branche BC.
La variable t allant de c à — 2, a: est négatif et croît j usqu’à 0; y positif et croît jusqu’à l’infini ; branche CI.
La variable t allant de — 2 à — 1 , x croît de 0 à oo , y croît de — oo à 0; double branche infinie DE, asymptote à OY' et à OX.
La variable t allant de — 1 à d, x part de — oo et croît, y part de 0 et croît; branche infinie FG, asymptote à OX'.
La variable t allant de d a b, x continue à croître, etydécroît en restant positif; branche GH.
La variable t allant de b à e , x et y décroissent ; branche HK, qui coupe OX' en un point dont l’abscisse — 2 correspond à t=0.
La variable t allant de e à -fl, x décroît, y augmente; branche-infinie KL, asymptote à OX'.
Enfin t variant de -f 4 à + oo, x décroît de oo à 0, et y croît de 0 à oo ; double branche infinie MN, asymptote à OX et OY.
Les tangentes aux points C, G, K, qui correspondent aux valeurs c, d, e de t qui annulent D,y, sont parallèles à OX; les tangentes aux points B et H sont parallèles à l’axe OY.
