CHAPITRE II

Convexité et Concavité.

305 — Soit AB un arc de courbe correspondant à une détermination de y , et aux valeurs de x comprises entre a et b ; nous supposons que dans cet intervalle la dérivée seconde y" conserve le même signe, par exemple, reste positive. Menons la tangente RS en un point quelconque M de cet arc , ayant pour abscisse x, , désignons par y\ la valeur de la

dérivée en ce point, ou le coefficient angulaire de la tangente, et par Y l'ordonnée d’un point quelconque de cette droite; la différence y — Y s’annule pour x=x0, et il en est de même de sa dérivée y' — Y' ou y' — y'o (fig. 170). L’abscisse x croissant de a en b, et la dérivée y " étant positive, la fonction y' — y', va en croissant; comme elle s’annule pour x=xn , elle est négative de a à x0 , et positive de #0 à b. Considérons maintenant la fonction y— Y, qui admet pour dérivée y'- t/ » ; quand x varie de a à x0 , la dérivée étant négative, la fonction décroît; comme elle s’annule pour x=x0 , elle était positive auparavant; a- variant dex0à6, la dérivée est positive et la fonction croît; comme elle s’annule pour x=x0, elle est aussi positive de x 0 à b. Il en résulte que la différence y— Y reste positive dans l’intervalle de a à b. On conclut de là que l’arc de courbe AB est situé tout entier d’un même côté de chacune de ses tangentes; c’est un arc convexe. Il en serait de même, si la dérivée seconde restait négative ; mais la différence y— Y étant négative, l’arc serait situé tout entier de l’autre côté de la tangente. Il est facile de distinguer ces deux côtés ; par le point M menons une parallèle MY, à l’axe OY, et dans la direction des y positifs; dans le premier cas, l’arc est situé du même côté de la tangente que la demi-droite MY, ; dans le second cas, il est de l'autre côté. Dans le premier cas, on dit que l’arc AB tourné sa concavité dans la direction MY, ; dans le second cas, dans la direction opposée.

On sait que le signe de y'' indique le sens de la variation de y' quand x croît. Si donc on imagine que le point M parcourre l’arc AB, le coefficient angulaire ira en croissant si y" est positive, et, au contraire, en décroissant, si y" est négative.

306— On appelle points d'inflexion les points où la concavité change de sens, c’est-à-dire les points où la dérivée