LIV. IV, CHAP. H.— CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ
seconde change de signe. En général, la quantité y", étant finie et continue, change de signe en passant par zéro. Supposons que y " change de signe pour x=zx/a en passant par zéro, on verra facilement que la dérivée première yf — y' 0 ne change pas de signe, mais que la fonction y — Y change de signe ; de sorte qu’en ce point la courbe passe d’un côté à l’autre de la tangente.
307 — Exemple I. Soit la courbe
y—x (x+1) (x — 3)=x5 — 2æ* — 3x, construite au n° 296, on a
y/z=3xt — \x — 3, et
La dérivée seconde est négative quand x varie depuis — co
jusqu’à -, et positive au delà. La courbe a un point d’in-
flexion dont l’abscisse est à gauche de ce point, la conca-
vité est tournée vers les y négatifs, à droite vers les y positifs.
308 — Exemple IL Sinussoïde. Construire la courbe
y = sin x.
Quand x croît de 0 à ir, l’ordonnée est positive ; elle part de 0 pour revenir à 0, ce qui donne l’arc OAC (fig. 171) symétrique
par rapport à l’ordonnée qui correspond à x——. Quand x croît de w à 2*, y devient négatif, et l’on obtient l’arc CBO égal
au premier. De 2ir à 4ir, l’ordonnée reprend les mêmes valeurs que de 0 à 2*, de meme de 4tc à 6tt, etc. Ainsi la courbe se compose d’une infinité d’ondulations égales.
Le coefficient angulaire de la tangente est donné par la formule
y! = cos x ;
A l’origine, y/ = l, la tangente est la bissectrice de l’angle YOX des axes. Au pointe, y'ir: — i, la tangente est parallèle à
l’autre bissectrice. Pour la dérivée s’annule et de
positive devient négative; l’ordonnée du point A est maximum. Pour x = 3^, la dérivée s’annule également, de né-
gative devenant positive; l’ordonnée du point B est minimum.
Quand x varie de 0 à n, le coefficient angulaire de la tangente cosx décroît constamment, la concavité est tournée vers Jes y négatifs; de it à 2w, le cosinus augmente, la concavité est dérigée vers les y positifs, le point C est un point d’inflexion.
Il est à remarquer que cette courbe a une infinité de centres, situés à égale distance les uns des autres, sur l’axe X'X, les points 0, C, CK, dont les abscisses sont les mul-
tiples de tc. Chacun d’eux est un point d’inflexion.
300— Exemple III. Construire la courbe (y — X*)i—xi = 0, ou
Les valeurs de y ne sont réelles que lorsque x est positif. Prenons d’abord le signe -f devant le radical; la fonction
y = a5, + a:f augmente de 0 à l’infini, quand x varie de
0 à oo. La dérivée y'= 2;r -f- -x* part de 0 et augmente aussi
constamment, on a donc une branche infinie OD tangente en Oà l’axe OX et qui tourne sa concavité vers les y positifs. Prenons maintenant le signe —devant le radical; la valeur de
LIV. IV, CHAP. II. — CONVEXITÉ ET CONE A VITE. 273 y est positive de O à i, et négative au delà. Portons sur OX une longueur OA égale à l’unité, la courbe passe en A. La
dérivée y'—lx—^x', nulle au point
O, est positive tantque x reste moindre
que 25 ’ et négative quand x dépasse ce nombre; l’ordonnée MP, qui correspond à — est maximum, et la tangente en M est parallèle à
aD
OX. La dérivée seconde 2 -x1 reste positive depuis 0 jus-
qu’à —, négative au delà ; le point N, qui correspond à
l’abscisse— est un point d’inflexion ; de O en N, la concavité
est tournée vers les y positifs; au delà, elle est tournée vers les y négatifs.
Deux branches de la courbe sont tangentes au point O à la droite OX, sans être la continuation l’une de l’autre ; les points qui offrent cette particularité se nomment points de rebroussement. Dans celte courbe, les deux branches sont du même côté de la tangente. En considérant la courbe ( y—x 1 ) * — æ5=0,
on aurait deux branches situées de part et d’autre de la tangente; la cissoïde présente à son sommet A (fig. 20) un rebroussement de cette sorte.
310 — Exemple IV. — Soit la courbe
(i) y=2\ea+e“ )
On suppose que a désigne une ligne donnée ; alors l’équation (1) est homogène et définit une courbe, à laquelle on a donné le nom de chaînette, parce que c’est la courbe que forme un fil flexible pesant, dont les extrémités sont attachées à deux points fixes.
L’équation (I) donne des valeurs de y égales pour deux valeurs do x égales et de signes contraires, la droite OY est
un axe de la courbe. Quand x varie de 0 à « , le terme e «
augmenterais le terme e a diminue ; pour savoir comment varie y, prenons la dérivée. On a
Cette dérivée est positive pour toutes F'e- 173- les valeurs positives de a;; donc quand
x croît de 0 à », la valeur de y augmente constamment de a à», ce qui donne une branche infinie BC (fig. 173) ; on obtient la branche BC' symétrique par rapport à OY en donnant à x des valeurs négatives.
La valeur de y1 augmente constamment quand x varie de — » à -f » , la courbe a sa concavité tournée vers les y positifs.
31 i— Exemple V. — Construire la courbe
Donnons à x une valeur positive très-petite , y est positif et
très-grand; x croissant de 0 à oc , y décroît constamment de oo à I ; ce qui donne une branche AC (fig. 474) , asymptote d’une == part à OY, d’autre part à la droite G'G menée parallèlement à OX et * à une distance de cette droite Fig. i74. égale à l’unité. Quand on donne
à x une valeur négative très-petite numériquement, y est positif et très-petit, x variant de 0 à — » > y croît constamment de 0 à 4; on a ainsi une branche OD partant de l’origine et asymptote à la droite BG'.
Cette courbe présente une particularité que nous n’avons pas encore rencontrée; la branche DO s’arrête brusquement
