UV. IV, CHAP. IL— CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ

au point O ; on donne aux points de cette espèce le nom de points d'arrêt.

Pour avoir le sens de la concavité, prenons d’abord la dérivée première ; on a

Lorsque x varie de 0 à », les deux facteurs — et e* dimi-

nuent; à cause désigne —, y augmente; la concavité de la branche AC est tournée vers les y positifs ; x variant de — » \ 1

à 0, le facteur augmente, le facteur ex diminue; on ne sait

pas immédiatement comment varie y'; la dérivée seconde Ya nous l’apprendre. On a

Quand x varie de — ce à — la dérivée seconde est négative;

prenons OP égal à et soit M le point correspondant de la

courbe; l’arc DM a sa concavité dirigée vers les y négatifs; x \

croissant de — — à 0, y" est positif, l’arc MO est concave vers

les y positifs et le point M est un point d’inilexion.

SI®— Remarque.— On ne voit pas, d’après la formule (2), ce que devient le coefficient angulaire de la tangente quand x

est négatif et très-pçtit numériquement. Posons x— — — , m

étant très-grand, la valeur numérique de yf prendra la 111 *

forme Donnons d’abord à m des valeurs entières, et comme

e est plus grand que l’unité, posons e 3=1 +*; ona

m . m(m~ 1)t^mj*n— t)(m— -2) ,

d’où

+ina + +

si m augmente indéfiniment, on voit que — croît au delà de

toute limite. Lorsque m est fractionnaire, il est compris entre deux entiers consécutifs n et n-f 1; il en résulte t" em e'‘+i (n-H)‘ <~mr<~nr'

— , étant compris entre deux nombres très-grands est lui-

même très-grand ; ainsi de quelque façon que m augmente £ m

indéfiniment, -r croît au delà de toute limite. Un raison- ’ m'

nement analogue est applicable à —, quel que soit le nombre positif p.

Le rapport inverse ^ tend donc vers zéro, lorsque m aug-

mente indéfiniment. Ainsi la tangente au point 0 de la branche OD est l’axe OX'.

313— Considérons le cas où l’équation de la courbe

n’est résolue par rapport à aucune des variables x et y ; la dérivée xf est donnée par l’équation

(2) fi, (x, y) + f‘y(x, y)ÿ~ 0.

Puisque y et yf sont deux fonctions de x , le premier membre de l’équation (2) est une fonction composée de la variable indépendante x; cette fonction a pour dérivée

rsi+2/‘iiy/+r:.ÿ,,+r»y";

comme elle est constamment nulle, sa dérivée est aussi nulle et l’on a l’équation

(3) A'*+ + fW * + fly"= o, qui donne la valeur de y". Si l’on remplace, dans cette équation, y1 par sa valeur tirée de l’équation (2), il vient