LIV. IV, CHAP. II.— CONVEXITÉ ET CONCAVITÉ

C'est à l’aide de cette formule que l’on détermine le sens de la concavité, ainsi que les points d’inflexion.

314— Appliquons à la courbe définie n° 300. L’équation de cette courbe peut se mettre sous la forme

On en déduit

f'xz=.x(x' + yl — c*), (1y=y{xt -\-y% + cs)

fcz=(x'+y*—c') + 2x’, fl[=2xy, /^(Æ’+ÿ’+O+fy’- Si l’on substitue ces valeurs dans la formule précédente, on obtient, après avoir réduit en tenant compte de l’équation (1),

Pour chaque portion de la courbe comprise dans l’un des angles des axes de coordonnées, le dénominateur conserve le même signe; la valeur de y" ne peut donc changer de signe que lorsque le numérateur passe par zéro. Les coordonnées des points qui annulent le numérateur doivent satisfaire à la fois à l’équation (I) et à la suivante

De ces deux équations on déduit

Dans le premier cas, lorsque a est plus petit que c, les valeurs de x et de y données par les équations (1) et (3) étant imaginaires, le numérateur de y" a le même signe pour tous les points de l’axe BA ; on vérifie aisément qu’il est négatif aux points B et A , la concavité de cet arc est dirigée vers les y négatifs. Dans le second cas, a—c, le numérateur devient nul au point O seulement ; il est positif de O en A, et la concavité de l’arc OA est dirigée vers les y négatifs. L’arc A'D'OCA présente au point 0 un point d’inflexion. Dans le troisième cas, on a a>c ; pour que les valeurs de x et de y

soient réelles, on doit avoir en même temps a<c t/2". Lors-

278 «ÎÉOMÉÎhlE ANALYTIQUE.

<|ue a est plus gfand que le numérateur est négatif en tous les points de l’arc BA , et la concavité tournée vers les y négatifs; si a est plus petit que c / 2 , le numérateur s’annule pour un Certain point G situé entre B et C ; de B en G il a le même signe qu’au point B 5 il est positif, et la concavité est tournée vers les y positifs; de G en A le numérateur a le même signe qu’au point A ; il est négatif, et la concavité dirigée du côté des y négatifs. Le point G est un point d’inflexion.

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