CHAPITRE IV

Construction des Courbes en Coordonnées polaires.

334— Nous avons défini les coordonnées polaires au n° 3; dans ce système un point quelconque, pris isolément dans le plan, peut être déterminé par une valeur de w comprise entre 0 et 2tc, et par une valeur positive de p ; cependant on est conduit, ainsi que nous allons l’expliquer par divers exemples, à faire varier chacune des coordonnées m et p de — oo à -)- oo.

1° Hyperbole. Nous avons vu que, l’un des foyers de l’hyperbole étant pris pour pôle, les deux branches sont représentées par deux équations distinctes, quand on se borne aux rayons vecteurs positifs; mais que l’une des équations suffit, si l’on admet les rayons vecteurs négatifs, en convenant de porter la

valeur absolue de chacun d'eux dans la direclion opposée de celle qu’indique la valeur de w.

2° Limaçon de Pascal. Nous avons démontré (n° 35) que la courbe est représentée par les deux équations p=r a cos w±b,

quand on fait varier m de — — à -f — et que l’on admet les

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valeurs négatives de p ; mais il est facile de voir que la première équation suffit pour représenter toule la courbe. Considérons, en effet, un point M' de la seconde branche dont les coordonnées p' et «/ vérifient l’équation p ' — acosd — b; si dans la première équation on remplace w par w' + n, on a p= — acosi»' + b= — (/ , ce qui montre qu’en portant la valeur de p dans le sens convenable, on obtient le point ML Ainsi la première équation, dans laquelle on fait varier «> de 0 à 2n, représente toule la courbe.

3° Spirale d’Archimède. Un point M se meut d’un mouvement uniforme et dans le sens G'G sur une droite indéfinie G'OG, laquelle tourne elle-même d’un mouvement uniforme autour de l’un de ses points O, la courbe décrite par le point M est la spirale d’Archimède.

Prenons pour axe polaire la position OX, occupée par la droite OG lorsque le mobile M passe en 0 , et comptons les angles polaires positivement dans le sens du mouvement de G'OG ; soit a 1a longueur dont le mobile s’avance sur la droite, pendant que celle-ci fait une révolution entière. Si l’on considère le mobile dans l’une quelconque de ses positions après son passage en O, en appelant «» l’angle dont a tourné la direction OG à partir de OX, et p la distance du mobile du point O, on a

ou

en posant ^-=b.

2ic

Considérons le mobile avant son passage en O, appelons w, la valeur absolue de l’angle dont il faut faire tourner la direction OG pour que le mobile vienne en O, le point M