LIV. IV, CH AP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES

étant placé sur la direction OG', opposée à celle qui correspond à l’angle o>„ le rayon vecteur de ce point est négatif et l’on a

— P__ M. , a 2 tt

Si l’on convient également de regarder les angles polaires, comptés dans un sens opposé au premier, comme négatifs, on aura w = — w„ et la relation précédente coïncide avec l’équation (1) qui représente la courbe indéfinie. Les valeurs de « comprises entre 0 et 2ir, 2 w et Air..., 0 et — 2ir..., donnent les spires successives. Si l’on se bornait aux valeurs positives de P et aux valeurs de m comprises entre 0 et 2w, il faudrait une équation particulière pour représenter chacune des spires,

p—bui, p—n j-bo),.... p=a — bo>, p=2 a — 6w,....

La spirale d’Archimède se compose de deux parties

OB.C.D.A.B et OB.E.D,

^B, .... (fig. 183) symétriques l’une de l’autre par rapport à la perpendiculaire OY à l’axe polaire. Chaque partie comprend une infini té de spires, et T les portions d'une droite quelconque menée par le pôle et comprises entre deux spires consécutives ont toutes pour longueur a.

335 — RemabqceI. — Un même point M du plan peut être défini par une infinité de couples de valeurs de p et de «o. Si l’on appelle a l’angle positif moindre que 2« que fait la direction OM avec l’axe OX et a la x distance OM (fig. 184), on peut prendre pour Fig. 184, coordonnées du point M, les couples de valeurs.

....[— 4 ir + a,aj, [—' 2w+a,o]. [a, a], [2ir -fa, a], [4ir + a, a],... dans lesquels le rayon vecteur est positif, ou les couples

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[ — — a],[ — jr-f-»,— a],[*+“, — a],f37t+a, — a],[5ir-f-a> — a] dans lesquels le rayon vecteur est négatif.

Lorsque le point M appartient à une courbe définie par une équation

ses coordonnées, quoique bien déterminées, ne peuvent être indiquées à la seule inspection du point; il faut, pour les obtenir, suivre le tracé de la courbe.

330 Remarque IL — Dans les formules de transformation établies au livre I, chapitre iii, nous avons supposé le point M déterminé par un rayon vecteur positif et par un angle polaire compris entre 0 et 2*. Conservant d’abord le rayon vecteur ' positif, on peut prendre pour angle po-

./ x laire l’un quelconque des angles que forme la direction OM avec OX (fig. 185), yo s angle compté positivement en tournant

y de OX vers OY, et négativement dans le

FiB. 135. sens opposé ; ceci revient à augmenter ou à diminuer l’angledésigné primitivement par « d’un multiple de 2 ir ; le sinus et le cosinus ne changeant pas, les formules restent les mêmes. Supposons maintenant le point M défini par un rayon vecteur négatif, l’angle w sera l’un des angles formés par la direction OM' avec OX. La projection de OM sur OX est ( — p) X cos (Tt-j-üt) ou pcosto; ainsi on a encore x=pcoso>, et de même x= psiiua. Les formules sont générales.

Lorsque l’axe polaire OX' ne coïncide pas avec OX, on définit la position de OX' en donnant l’angle de OX' avec OX, angle compté en tournant de OX vers OY, soit a cet angle. Si l’on considère l’axe polaire auxiliaire OX, on aura les formules

X — pCOSio,

y = psin<a.

On a de plus w = (o' -f «; d’où

X — pcos (u/ -)- a), y —p sin (J + a).

Supposons les axes des coordonnées obliques, et prenons OX