LIV.IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES
pour axe polaire, on obtient les formules de transformation en projetant les deux chemins OM et OPM successivement sur une perpendiculaire à OX et sur une perpendiculaire à OY ; on trouve ainsi p sin (0 — to)
sin 9 p sinu> sin 0
0 étant l’angle YOX.
337— Remarque III.— Dans le cas où l’on obtient toute la courbe en faisant varier o> de 0 à 2tc, on reconnaît la symétrie par rapport à l’axe polaire OX, quand les valeurs a et 2w — a attribuées à to reproduisent la même valeur de p, ou quand les valeurs « et tc — a donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. On reconnaît de même la symétrie par rapport à la perpendiculaire OY, quand les angles a et w — a donnent la même valeur de p, ou les angles a et 2 w — a des valeurs égales et de signes contraires. Enfin , on reconnaît la symétrie par rapport au pôle, quand les angles a et tc + a donnent la même valeur de p.
Mais lorsque, pour avoir toute la courbe, il est nécessaire de faire varier to au delà de 2w, la symétrie peut se présenter d’une autre manière. Par exemple, s’il est nécessaire de faire varier to de 0 à A w, la symétrie par rapport à l axe polaire aura lieu si les angles a et 2n — a, ou a et An— a, donnent des valeurs égales pour p, ou si les angles a et « — a, ou a et 3* — a, donnent des valeurs de p égales et de signes contraires. Si les limites de «■> sont plus étendues, le nombre des comparaisons à faire augmente.
Considérons, par exemple, la courbe définie par l’équation
to
p = cos — •
Quand to augmente de deux fois 27r, la direction du rayon redevien t la même ; d’ailleurs, — augmentant de Sn, p reprend
la même valeur; ainsi on retrouve un point déjà obtenu antérieurement. Il suffit donc de faire varier u de 0 à 4tc. Si Ton augmente «o de 2 ir, le rayon revient à la même direction ;
mais — augmentant seulement de ir, p conserve la même va-
leur numérique en changeant de signe. On en conclut que la portion du lieu donnée par les valeurs de w comprises entre 2 n et 4 ir est symétrique par rapport au pôle de la partie donnée par les valeurs de o* comprises entre 0 et 2 ic ; en d’autres termes, le pôle est centre de la courbe. Pour w=a età=2ic— «, les valeurs de p sont égales et de signes contraires ; on a de la sorte deux points placés symétriquement par rapporta la perpendiculaire OY à l’axe polaire (fig. 187) ; cette droite OY est un axe de la courbe. La variable w allant de 0 à ir, p diminue
de 1 à 0, on a l’arc ABO tangent au point 0 à la droite OX7. Les valeurs de w comprises entre « et 2tc donnent l’arc OBA7 symétrique du premier par rapport à OY, et les valeurs de w comprises entre 2ir et 4 7t, la courbe A'B'OB'A symétrique de ABOBA' par rapport
Fi* ,87- au pôle. La courbe est formée de
quatre arcs égaux. L’axe polaire est aussi un axe de la courbe.
ce qu’on voit directement en remarquant que l’on a des valeurs
égales de p pour les valeurs a et 4t — a attribuées à <«.
