TANGENTE
33$ — On détermine la direction MT de la tangente au point M par l’angle a qu’elle fait avec la prolongement MA du rayon vecteur.
Soient p et <o les cordonnées du point M, p-fAp et t» + Aw celles d’un point voisin M7 (fig. 1 88) ; menons la sécante MM7, et du pôle comme centre avecOM pour rayon décrivons l’arc de cercle MN; l’angle MOM7 est l’accroissement Ao> de l’angle polaire,
LIV. IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 207 M'N est l’accroissement Ap du rayon vecteur. Dans le triangle NMM', on a
stnOM'M corde MN
sfeNMM/~' ’
corde MN arc MN
corde MN pAto arc MN X Ap
M'N arc MN M'N
Si l’on fait tourner la sécante autour du point M, de manière que le point M' se rapproche indéfiniment du point H , la sécante MM' a pour limite la tangente MT, la corde MN a pour limite la tangente à l’arc de cercle , et par suite la perpendiculaire au rayon OA ; on a donc
/tmOM'M = OMT' = a. Km NMM'= - - a ;
on sait d’ailleurs que la limite
du rapport d’un arc de cercle à
sa corde est l’unité ; l'équation
précédente devient ainsi
sin a A to
— =p iim — .
cos a A p
ou
tang a = — = — •
,imp. *
A co
p/ désignant la dérivée de p considéré comme fonction de tu.
On a supposé dans la figure précédente que le rayon vecteur croît avec l’angle to; s’il décroît, le triangle NMM' (fig. 1 89) donne sin OM'M
— sinNMM'
corde MN arcMN
corde MN pAto arc MN X Ap
arcMN ''—M'N
les angles OM'M, NMM' ayant pour limites a et a — ^ ; on retrouve encore
la même formule.
Quand w croît, on s’avance sur la courbe dans un certain sens; a désigne l’angle que fait la tangente menée dans le sens du mouvement avec la direction déterminée par l’angle &>. On voit aussi que la même formule convient au cas où le rayon vecteur est négatif.
339— Remarque.— Lorsque le rayon vecteur s'annule pour
une valeur particulière w0 de w, on a une branche de courbe OG passant au pôle, et la tangente à cette branche au pôle est précisément la droite OA donnée par l'angle w,. En effet, si l’on prend un point voisin M , et si l’on fait tourner la sécante OM de manière que Fig. i9o. je p0int M se rapproche du point O, p
s’annule et la sécante tend vers la direction OA.
340— Exemple I. — Spirale d’Archimède. — L’équation de cette courbe étant p = b u>, on en déduit p' =b, d’où
tang =~ = ia.
Si le point M part du pôle et s’avance sur la courbe, l’angle w d’abord nul, augmente constamment et tend vers un angle droit.
341 — Exemple II. — Spirale logarithmique. — On appelle spirale logarithmique la courbe dont l’équation polaire est
p = aemw,
a désignant une ligne donnée et m un nombre. Supposons la
constante m positive; si l’on fait croître <o de 0 à l’infini , p va constamment en croissant de a à l’infini, ce qui donne une branche indéfinie ABC...., faisant une infinité de circonvolutions autour du pôle. Si l’on fait ensuite varier w deOà — », p diminue constamment et tend vers zéro , on obtient une seconde branche indéfinie AB'C'... qui fait une infinité de circonvolutions autour du pôle, en se rapprochant constamment de ce point. Lorsque la constante m est négative , les valeurs positives de w donnent la branche qui se rapproche du pôle, et les valeurs négatives celle qui s’en éloigne.
