L1V. IV, CHAP. IV. -COURBES EN COORDON. POLAIRES
On a p' = maemu — mp; il en résulte tang«= —
La tangente à la courbe fait avec le rayon vecteur un angle constant.
348 — Exemple III. — Épicycloïde. — Lorsqu'un cercle mobile roule, sans glisser, sur un cercle fixe, un point du
cercle mobile décrit dans le plan une courbe à laquelle on a donné le nom d’épicycloide.
Bornons - nous au V cas où les deux cercles sont égaux. Soit C le cercle fixe, C' la position initiale du cercle mobile , a le Fi«- 19î- rayon; supposons que
ce soit le point de contact A qui, dans le mouvement du cercle C', engendre l’épicycloïde. Lorsque le cercle mobile a roulé de l’arc AE, le point A est venu en M; les deux arcs EA, EM sont égaux. Prenons le point A pour pôle, le prolongement de CA pour axe polaire ; la droite AM, perpendiculaire sur la tangente commune aux deux cercles, est parallèle à CE; l’angle AEN est la moitié de ACE, et par conséquent la moitié de (u ; le triangle rectangle ANE donne
mais
donc
AN= AE sin^;
AE= 2 asin
• » 0) p ==4asin* -
=2a(l— cosm).
Telle e3t l’équation de l’épicycloïde.
Il suffit de donner à w les valeurs comprises entre 0 et 2*. Quand co varie de 0 à ir, p croît de 0 à 4a, ce qui donne l’arc ADB. Pour 10 = 0), et w = 2it — co„ les valeurs de p sont égales; donc, en faisant varier &> de ir à 2ir, on obtient un arc symétrique du premier par rapport à Taxe polaire, et par conséquent l’axe polaire est axe de la courbe.
Puisque la dérivée de cos co est égale à — sin co, la dérivée de p, considérée comme une fonction de co, est égale à
2a sin co.
On a donc
langn=:
2 a sin co
—tang
Du point A au point B, a croit de 0 à en B la tangente
est perpendiculaire sur le rayon vecteur. Il est aisé de voir que la normale à l’épicycloïde en un point quelconque M passe au point de contact du cercle mobile avec le cercle fixe; en effet
l’angle MEN est égal à et par suite à « ; donc EM est perpendiculaire sur MT.
343— Exemple IV. — Construction de la courbe
P =4 -f- cos 5to.
Il suffit de faire varier w de 0 à 2 tt. Le rayon vecteur P reste toujours compris entre 3 et 5 ; décrivons donc du pôle comme centre deux cercles avec les rayons 3 et 5, la courbe sera tout entière située entre ces deux cercles. Quand w varie de
