LIV. VI, CHAP.IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 307 d’où
aî=£ü£!nf!fL, a. c. -c,(y*— M .
x'+y'— 0iX-py' x* + y'-^ax— py’
en subslituant dans l’équalion (1) , on obtient l’équation du lieu
(3) (x' + y*-^ax — pj/) — *»/] + c*(45-r-*) (y— p)==Q.
Le lieu est du troisième degré, il passe par le point donqé P, par les foyers F, F', et par les projections du point P sur les deux droites OX, OY.
En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au point P, l’équation du lieu devient
(4) (æ*-f y'+ax + py) (px — zy)+c*xyszO.
Si l’on transforme celle-ci en coordonnées polaires, en prenant pour pôle le point P, et la droite PX' pour axe polaire, ou a
(P* — a* -j-C’JSf’ntoCOSto — aj3(sm*«) — COS* w)
* ' ^ a Slft to — p COS to
On obtient tous les points du lieu en faisant "varier todt 0 à r. Le dénominateur s’annule pour la valeur n de to déterminée par
la formule lungu.=-; celte valeur dopne la droite qui va du
point P à l’ancienne origine 0. Si l’on égale le numérateur à zéro , en divisant par cos* to, on a une équation du second degré par rapport à tang to ; les deux racines sont r 6e J (es et déterminent deux droites rectangulaires. Comme le résultat
de la substitution de ^ à la place de tang tô dans le premier
membre de l’équation
ajî langto> — (p* — a* q-c’) tang to — ap = 0 est négatif (on suppose « et p positifs), la racine po-
sitive est plus grande que par conséquent les droites
OC
PQj PO7 , qui correspondent aux valeurs X, V de to qui annulent le numérateur, et la droite PO sont disposées, comme l’indique la figure.
Lorsque u varie de 0 à g. , p est négatif , on a la Iiranche Infinie BF' ; de p à X, p est positif , on a la branche infinie CP ; de
X à X', p est négatif et l’on obtient la boucle PAFP ; enfin, de X' à iT, p redevient positif et l’on trouve l’arc PB. Les branches infinies ont une asymptote dont la distance à OP est
C« «ft
En changeant la direction de l’axe polaire, on ramène facilement l’équation (5) à la forme
cos 2ü>
sin («— w,)
discutée dans l’exemple précédent.
348— Exemple VIII.— Construire la courbe donnée par F équalion
2io 1
P=fl2^TÏ=a
2co
La v .leur de p s’annule pour w =0, et devient infinie pour
to.-^:-; menons par le pôle la droite L'L , qui fait avec
l’axe polaire l’angle dont la mesure est — . Lorsque « varie de
0 à ^,p est négatif et varie de 0 à — a> , on a une branche infinie OA'B', tangente à l’axe polaire et comprise dans l’angle
X'OL'. Quand w dépasse ^ et croît de — à ao , p devient posi-
n lif et décroît de ao à a, on “ obtient ainsi une première -^'i. branche infinie AB, puis une seconde AE qui fait une infinité de circonvolutions autour du cercle décrit du pôle comme centre, avec a pour rayon, en se rapprochantconstammentdu cercle.
Quand to varie de 0 à — « , o reste nosilif et va en croissant de
