TC S TC

En faisant varier w de — à — , on obtiendra la partie BA'O.

symétrique de BAO pat rapport à la dtoite OY.

Quand « varie de

P, décroît de «e à /î ; ce qui

donne les deux branches infinies EF et CD ; en faisant varier

«de ^ à 2«, on obtiendra les deux branches FE', DC', symé-

triques des précédentes; cos branches infinies sont asymptotes à l’axe polaire.

I 351— Remarque — La dislance variable MK d’un point M d’une branche infinie (fig. 193^ à la direction OL, pour laquelle P devient infini, a pour expression

± p stn « — a) ;

quand <o s’approche de a, le premier facteur croît indéfiniment et le second tend vers zéro. Dans les exemples précédents, on a pu découvrir sans peine ce que devenait ce produit pour des valeurs de « voisines de a ; lorsqu’il n’en est pas ainsi, on a recours à la règle suivante.

Le produit peut s’écrire

Sin(ta — a) . p

Le premier facteur a pour limite l’unité ; si l’on considère —

comme une fonction de «, le numérateur du second est l’ac-

croissement de — quand l’angle polaire passe de la valeur a à P

la valeur «; le diviseur étant l’accroissement de l’angle, le rap-

port a pour limite la valeur de la dérivée de - , considérée

comme une fonction de «, quand on y remplace « par à. Lorsque cette dérivée est nulle , la branche considérée n’a pas d’asymptote ; si la dérivée a une valeur d différente de zéro, la

branche a une asymptote, située à la distance^ de la droite OL.

EXERCICES

1» Trouver le lieu du sommet d’une parabole variable qui a un foyer fixe et qui touche une conique de même foyer (conchoïde) .

2° Trouver le lieu du sommet d’un triangle variable, dont la base a est fixe, et dont les deux autres côtés b et c et la mé-

LIV.IV, CHAP. IV.— COURBES EN COORDON. POLAIRES. 313 diane correspondante m vérifient la relation & — c=m/ 3 (lemniscate).

3° On donne un point fixe O et une droite fixe OP; on demande le lieu du sommet M d’un triangle variable MON qui remplit les conditions suivantes : le côté ON a une longueur

constante a, le côté NM = a v/ 2 , enfin les angles vérifient la relation cos ( MON — 20MN)=cos MOP (lemniscate); démontrer que la tangente en un point quelconque M du lieu passe au centre du cercle circonscrit au triangle qui a donné ce point.

4° Le triangle ABC est inscrit dans un cercle donné, le sommet A reste fixe et l’angle A constant ; on demande le lieu ou centre du cercle inscrit dans le triangle ABC (limaçon).

5° Trouver le lieu du sommet d’un angle constant dont les deux côlés sont tangents à deux circonférences données (limaçon).

6» Trouver le lieu des foyers des paraboles qui ont une corde commune et une tangente commune, parallèle à cette corde.

7° On donne un cercle fixe , un cercle variable touche le premier en un point fixe; on demande le lieu du point de contact sur ce dernier cercle de la tangente commune aux deux cercles.

8» Trouver le lieu du sommet ou du foyer d’une hyperbole équilatère, dont le centre est fixe et qui passe en un point fixe.

9° Trouver le lieu du centre d’une hyperbole équilatère donnée, assujettie à passer par deux points fixes.

10° On donne un angle droit YOX, et un point fixe P sur la bissectrice de cet angle; on demande le lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du point P sur une sécante variable qui intercepte dans l’angle un triangle dont l’aire est constante.

11° En un point quelconque M d’une parabole on mène la normale que l’on prolonge jusqu’au point N où elle rencontre l’axe ; on demande le lieu du point de rencontre de la tangente en M à la courbe avec la perpendiculaire à l’axe au point N.

314 géométrie analytique.

12° On remplace la parabole du problème précédent par une hyperbole; on prend le point N sur l’un des deux axes dfe la courbe ; trouver le lieu.

UJ'’ Une parabole tourne autoür de son foyer ; on demande le lieu des points de contact des tangentes menées parallèlement à une droite donnée.

14« Trouver le lieu du point milieu d’une corde normale à une hyperbole donnée.

15° Étant donnée une ellipse, le centre d’un cercle de rayon constant parcourt un diamètre de l’ellipse ; trouver le lieu des poi n ts de concours des sécantes communes au cercle et à l’elli pse.

1G° Étant donnée une hyperbole équilatère, le centre d’un cercle, qui passe constamment par le centre de l’hyperbole, décrit une asymptote ; trouver le lieu des points de eoücoars des sécantes communes.

17° Lieu des points de contact des tangentes menées d’un point donné aux cercles qui touchent une droite donnée en un point donné.

18° Lieu des points de contact des tangentes menées d’un point donné aux cercles qui passent par un point donné et qui touchent une droite donnée.

19° Trouver le lieu des milieux des cordes inscrites dans une hyperbole donnée et tangentes à un cercle concentrique à l’hyperbole.

20° Construire les lieux représentés par les équations y* — as ‘+2 a &’£=(), x',-\-yl‘ — 2 ay% — %bx'y — 0,

(ir'+ÿ’)’ — 6 axy* — 2 ax3-f- 2aî;r1=ü, y=a + b(x—c)m ,

ÿ‘ — il®’ — 4fr*s=0>

yi — xk — 2 bxy% -J-2aæ8 = ü, y’" — x* — 2x,ÿ* -f 2x=0, y* — xk—96aty*+ i00a*xi = 0,

21° Construire les courbes représentées par les équations