L1V. V, CHAP. V.-DE LA SIMILITUDE

Dans cette nouvelle position , la courbe 9/ est homothétique à S ; car les rayons vecteurs menés des points O et CK sont parallèles et dans le rapport constant k. L’équation (3) représente donc toutes les courbes homothétiques à la courbe proposée, quelle que soit la position du centre de similitude.

301— En même temps que nous transportons l’prigipç en (y, faisons tourner les axes de l’angle <*; la courbe ÿf occupera alors une position quelconque dans le plan et sera simplement semblable à la proposée. La courbe S', rapportée aux axes mobiles CKX' et 0/Y/, a pour équation f{hx', kÿ)3= 0}

au moyen des formulas de transformation , les axes étant supposés rectangulaires,

x’=.(x—p) cos a + ( y—q ) sin a, y* =—■ (*— p) tin a + (y~q) cos a, on obtient l’équation de la courbe par rapport aux deux axes fixes OX et OY. Cette équation représente toutes les courbes semblables à la proposée.

301- Comme application , cherchons les conditions pour que deux courbes du second degré

A x ’■ -f- B# y *f Cy 1 -f Dp -f E y •+■ F=? I»,

A'i’ + B !çcy + C'y + D 'y + EV+F'^ ü, soient homothétiques. L’équation générale des courbas homothétiques à la première courbe est

AkV+Bk’iry-l-CkV^-tBk’a+ÎAk^-Pk)*— (Bks|4-2(:k*î— F.k)i/

-}-( Ak’p’+Bk’pg-J" Ck V — DJfp — J£kg-|-F):=:0.

En identifiant cette équation avec la seconde, on a

ABC — 1 Bî-2ÀP+- — Bp-2CH-- Api+Bpg+Gf^-^-^-f^-

L’élimination des trois paramètres p,q, k , entre ces cinq équations, donne deux équations de condition; or, les deux ABC

premières équations — , =* jÿ ne renfermant pas les

paramètres à éliminer, sont précisément les deux équations

de condition. Donc, pour que deux courbes du second degré soient homothétiques , il faut que les coefficients des termes du second degré soient proportionnels.

303 — Il reste à examiner si les valeurs des paramètres p, q, k sont réelles et finies; on évite cette discussion de la manière suivante. Puisque les coefficients des termes du second degré sont proportionnels, on peut les rendre égaux en multipliant tous les termes de l’une des équations par un facteur convenable; prenons donc les deux équations sous la forme

(t) Arc’-f- Bxy+Cy’+Dx-f Ey + F=0,

(2) kx' + Yïxy Cy’-}- iyx-j- E'y-f- F= 9.

Nous distinguerons plusieurs cas suivant le signe de la quantité B* — A AC.

1° B1— 4AC=0. Les deux lieux sont du genre parabole ; si ces lieux sont effectivement deux paraboles, ils sont certainement semblables, puisque toutes les paraboles sont semblables; de plus, les axes des deux courbes, ayant le même coefficient B *

angulaire — —, sont parallèles, et par suite les courbes sont homothétiques.

2° B* — 4AC<0. Les lieux sont du genre ellipse. Si, pour chaque courbe, on transporte les axes parallèlement à euxmêmes au centre de la courbe, les équations (t) et (2) deviennent

(3) AÆ’-f-Bæy-f Cÿ*-f-F,= 0,

(4) A^+Barÿ-f CÿV+F/=0.

Les axes des courbes , dont les directions sont déterminées par l’équation

sont parallèles. Si l’on fait tourner les axes des coordonnées de l’angle a, les équations (3) et (4) se réduisent à la forme

(5) Maj*+Ny*-f F,=0,

(6) MÆ*4-Ny*+F,'=0.