LIV. I, CHAP. II.— EXEMPLES

tion en coordonnées rectilignes, la cissoïde que nous avons déjà construite d’après sa définition géométrique.

En résolvant l’équation par rapport à y, on a

L’ordonnée n'est réelle que pour les valeurs de l’abscisse comprises entre 0 et a; donc la courbe est située tout entière entre l’axe des y et la parallèle CG' menée à la distance a (fig. ‘20). Quand x croît de 0 à a , la valeur numérique de y croît de 0 à x; ce qui donne une branche de courbe supérieure parlant de l’origine A et s’élevant indéfiniment. En même temps la distance M’H=a — x d’un point de la courbe à la droite BC tend vers zéro, ce qui fait voir que la droite BC est asymptote de la courbe.

Comme à chaque valeur de x correspondent deux valeurs de y égales et de signes contraires, la courbe se compose de deux branches symétriques par rapport à l’axe AX.

STROPHOÏDE.

31— Un angle droit YOX (fig. 22) et un point fixe A sur un de ses côtés étant donnés dans un plan, on mène du point fixe A une droite quelconque AD qui rencontre le côté 0Y en I), et l'on porte sur celte droite d’un côté et de l’autre à. partir du point D des longueurs DM et DN égales à OD; le lieu des points M et N est la strophoïde.

Quand la droite mobile occupe la position AX, les deux points M et N se confondent en 0. Si la droite tourne de manière à ce que le point D s’élève indéfiniment sur OY, OD augmente, et l’on voit que le point M décrit une branche de courbe infinie OM. Quant au point N, il se rapproche de plus en plus de A. En effet, on obtient le point N en décrivant un cercle du point D comme centre avec DO pour rayon ; quand le point D s’élève à l’infini, l’arc de cercle ON coïncide avec la droite OA, et le point N vient en A.

Fig. îî.

Il y a évidemment une partie symétrique de l’autre côté de l’axe AX (fig. 22).

Le point O par lequel passent les deux branches de courbe s'appelle point multiple. Les tangentes en ce point aux deux branches de courbes coïncident avec les bissectrices des angles droits AOY, YOX ; car, dans le triangle isocèle DMO, l’angle D est obtus et par suite l’angle DOM plus petit que 45°; si la droite AD tend vers la position AX, l’angle D diminue jusqu’à 90°, et par conséquent l’angle DOM augmente jusqu’à 45°; donc la position limite de OM, c’est-à-dire la tangente en 0, coïncide avec la bissectrice. On en conclut en outre que la branche OM est située au-dessus de la tangente. Le triangle isocèle DON donne le meme résultat ; car, dans ce triangle, l’angle D est aigu, et l'angle DON plus grand que 45»; quand la droite AD tend vers AX, l’angle D augmente jusqu’à 90° et l’angle DON diminue jusqu'à 45°; donc la position limite de ON, ou la tangente, coïncide avec la bissectrice, et l’arc est au-dessous de sa tangente.

La tangente au sommet A est perpendiculaire sur l’axe AX; car, lorsque le point D s’élève indéfiniment, la corde AN tend à devenir perpendiculaire sur AX.

Sur le prolongement de AO prenons OG=AO, et par le point G élevons la perpendiculaire HH ; cette droite est asymptote de part et d’autre aux deux branches infinies de la courbe; car la distance MF, égale à AN, tend vers zéro.

3Ï — Cherchons l’équation de la courbe en coordonnées polaires. Prenons le point A pour pôle, l’axe AX pour axe polaire, et désignons par a la distance OA, on a

p = AD ± DM = AD ± DO =— ± a tang w ;

r COS U)