LIV. IV, CHAH. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

l’on suit pas à pas l’énoncé, on voit qu'il s’agit de mener des lignes d’après certaines conditions; cos lignes, par exemple, de* vront passer par des points déterminés, être perpendiculaires ou tangentes à d'autres lignes. Or si, au fur et à mesure, on cherche les équations de toutes ces lignes, la vérification du théorème ou la détermination des inconnues du problème, sera évidemment ramenée à une simple question algébrique. C’est ainsi que l'on a opéré dans l’étude de la ligne droite et des courbes du second degré. Mais cette méthode n’est pas toujours la plus simple, et, dans beaucoup de cas, il vaut mieux recourir à des procédés particuliers,

Quelquefois les théorèmes de la Géométrie élémentaire donnent immédiatement les équations nécessaires pour résoudre la question.

Exemple. — Trouver les trois côtés d'un triangle rectangle, connaissant la surface et le périmètre ,

En représentant par a le périmètre, par S la surface, par jc et y les deux côtés de l’anglé droit, et par z l’hypoténuse, on a de suite, au moyen de deux théorèmes simples, les trois équations

Îx-f

suffisantes pour la détermination numérique des incôn nüés. Par une combinaison convenable, on trouve que

et que x et y sont les racines de l’équation du second degré

Pour que le problème soit possible, il faut 1" que l’on ait a*>iS; 2° que les racines de l’équation (2) soient réelles et positives. Or, ces racines ne peuvent être réelles sans être positives, puisqu’elles sont de même signe et que leur somme est positive. Si donc on a en même temps

a’>4S, («’ + ASj’^aaa’S,

la question admet une solution et une seule. La dernière inégalité peut se mettre sous la forme

et pour qu’elle soit compatible avec la première on doit avoir

Ainsi parmi tous les triangles rectangles de même périmètre a, le plus grand, a une surface égale à

3 T* — Souvent on ne connaît pas de relation immédiate entre les éléments de la figure qui entrent dans l'énoncé; on emploie alors une ou plusieurs inconnues auxiliaires que l’on choisit dans la figure, de manière qu’il existe des relations connues entre elles et les quantités proposées. Après avoir établi un nombre suffisant d’équations, on pourra, si l’on veut, éliminer les inconnues auxiliaires, et obtenir de la sorte des équations qui ne renferment plus que les données et les inconnues cherchées.

Exemple.— On demande la diagonale BD d’un quadrilatère

©inscrit ABCD dont on connaît les quatre côtés.

Représentons par a, b, c, d les quatre côtés, par x la diagonale cherchée, et prenons pour inconnues auxiliaires les deux angles opposés A et C, qui sont sup- Fig 208 plémenlaires, on a les trois équations

x1 = at+di — Z ad cos A, x b s + c* — 3i.be cos C,

A + C=it ou cos A — — cos C,

qui, par l’élimination de A et C, donnent x*(ad+bc)=ad(b'+ci)+bc (a*+d3)= (ac+6d) ( cd+ab );

LTV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLEMES DÉTERMINÉS. 333 on trouverait pareillement pour l’autre diagonale y * ( ab+ cd) = ( ac+bd ) (ad+ôc) ,

d’où

x'y'= (ac+bd)', xy—ac+ab et

x 1 (cd+ab)' x cd+ab

y' (ad+bc)' ’ y ad+bc

Il en résulte que, dans un quadrilatère inscrit, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés ; que le rapport des diagonales est égal au rapport des sommes des produits des côtés qui aboutissent aux extrémités de chacune d’elles.