DES DIFFÉRENTS CAS D’UNE MÊME QEESTION

373 — Lorsqu’une question géométrique présente plusieurs cas différents on considère chacun d’eux comme une question particulière, et, faisant la figure qui s’y rapporte, on met le problème en équation. Ordinairement les divers systèmes d’équations obtenus de la sorte se ramènent à un seul par l’emploi des quantités négatives.

Exemple I. — Par un point M mener une droite telle que la

partie interceptée entre les deux droites données AA', BB' ait une longueur donnée.

Appelions 0 l’angle des deux droites dans lequel est situé le point M, a et b les coordonnées de ce point par rapport aux deux droites, x et y les coordonnées des points où la droite cherchée, qui peut avoir les diverses positions PMQ, MP"Q", MQ',,P',/, rencontre les axes des coor-

données; l’équation de cette droite sera, en désignant parX et Y les coordonnées courantes,

et puisqu’elle doit passer au point M on a la relation

ou yx — ay — bx = 0.

D’autre part la longueur l s’exprime par la formule l*=zxt-\-y' — Ixycosb.

Ainsi les deux équations

Ixy — ay — b. r=0,

I x* + y * — Ixy cos 6 = 1*, au moyen des conventions faites sur les signes des coordonnées, résolvent tous les cas du problème. L’élimination de l'une des inconnues conduit à une équation du quatrième degré.

Si le point M est situé sur la bissectrice de l’angle AOB, c'està-dire si ses coordonnées a et b sont égales, l’équation du quatrième degré se ramène à des équations du second degré ; mais dans ce cas il vaut mieux opérer de la manière suivante : Les équations (i) deviennent

xy — a[x + y) = 0,

(x+y)* — ixy cos* — =

on en tire

æ + y=%acos* — ± y ialcosK— -j- /*,

vyzzZcPcos'— ± a y \a* cos4 — + /*.

Les inconnues x et y sont donc les racines de deux équations du second degré. Celle que l’on obtient en prenant le radical avec le signe — dans les formules (2) a toujours ses racines réelles, puisque le produit xy est négatif, elle donne les deux solutions MP//Q/', MQ/,/P///, qui existent toujours. Si l'on prend le même radical avec le signe -f-, on trouve pour condition de réalité des deux racines qui sont alors posi-

L1V. IV, CHAP. VI.-DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS, m tives, f>4asm j. Comme la diagonale CD a une longueur

égalé a 2 asm -, cette condition est />2CD. 11 en résulte

que la plus petite corde que l’on puisse tracer par le point M dans l’angle AOB est la corde P0Q0 parallèle à CD et égale à 2CD. Si la longueur l est plus grande que œ minimum, on aura deux solutions, PQ, P'Q', symétriquement placées par rapport à P0Q„.

Exemple II. — Par un point M mener une droite telle que le triangle formé par cette droite et deux droites fixes AA', BB' ait une surface donnée.

Conservons les mêmes notations que dans le problème précédent et appelons S la surface donnée ; on a dans tous les cas xy — ay—bx = 0.

Si la droite occupe la position PMQ, la surface S a pour valeur

xysin»

tandis que dans les deux autres cas on a c xysinQ ’ — 2 *

Les solutions du premier -cas sont donc données par le système ^

ixy — ay—bx~(),

(1) | c xy sin 0

celles des deux autres cas par le système xy — ay — bx= 0,

(2) • xysinO

Les solutions du second système sont toujours réelles. Quant à celles du premier, la condition de réalité est S>-2 absin 6, il en résulte que le triangle minimum formé dans l’angle AOB est déterminé par la corde partagée en deux parties égales au point M. Si la surface S est plus grande que le minimum, on a deux solutions PQ, P'Q’.

374 — Souvent les équations du problème admettent plus de systèmes de solutions réelles que n’en comporte l’énoncé; on cherche alors à modifier ce dernier , de telle sorte que chaque solution des équations corresponde à un cas du pro* blême ; c’est ce qu’on appelle généraliser l’énoncé.

Exemple I.— Partager une droite donnée AB en moyenne et extrême raison.

Soit a la longueur donnée AB, x le plus grand segment AM, on a

x* + ax — a’=0.

Cette équation a deux racines réelles de signes contraires ;

cependant le problème, — tel qu’il est proposé, n’admet qu’une solution, qui rig. îio. correspond à la racine

positive de l’équation. Si l’on désigne par x la racine négative, cette valeur vérifie la relation x'*=a(a+xi);

on voit que si l’on prend AM,=^r' , la distance M A est moyenne proportionnelle entre M'B et AB. Si donc on convient de porter la racine positive à partir de A dans la direction AB et la racine dans la direction, opposée l’équation (i) résout la question suivante : Trouver sur fa droite indéfinie AB un point

tel que sa distance au point A soit moyenne proportionnelle

entre sa distance au point B et la longueur AB.

Exemple II. — Circonscrire à un cylindre un cône dont le volume soit égal à un volume donné V.

Désignons par r le rayon de la base, par h la hauteur du cylindre n 211i donné, par x la hauteur

OM, par y le rayon de la base du cône, on a