LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

x+y=MF'=2a-4-MF=2DI (I étant le milieu de MF).

Soit x=DI + z, y =DI — z,

on aura a,y=DI* — s*=2aDI.

d’où z*=DI*— 2aDI=(a+MI)'— 2a(a+MI)=MI*— a*; Sur MF comme diamètre, décrivons une demi-circonférence MP' PF, elle coupe la droite A'A en deux points P et P', et si l’on mène P'H perpendiculaire sur IH, on a IH=s, ce qui donne les deux solutions PQ et P'ty. La condition d’existence de ces solutions est

MI>a, DE>3«, J>2a/Ï>2CD.

On obtiendrait de même les deux autres solutions par la demi-circonférence décrite sur le diamètre MF'.

383— Quelquefois une simple remarque sur les équations d’une problème indique une construction synthétique.

Exemple. — Construire un triangle, connaissant les longueurs des trois médianes.

Désignons par a, b, c les trois côtés inconnus, par a', b', d les médianes correspondantes; on a entre ces six grandeurs les relations suivantes

3a*-f4a'!=36*+46',=3c‘-f4c'î=2(a,+èî+c,)=^(a/,-|-6')+c/*)-

ou

Soient a,, ô,, c , les médianes du triangle dont a', b1, c' seraient les côtés; on aura pareillement

Fig. 216.

3a”+ 4aî=3è'4-f46t=3c/*-i-4cî=2(a'î+ô',+c,,)=^(aî+6î + cj). ou

a/*H-|«ï==6'*H-|6ï=c/’+|cî=| (al + ?)- |(«/*+6’+c'*).

La comparaison de ces relations donne

Et comme les médianes d’un triangle se coupent en un point situé aux deux tiers de chacune d’elles à partir des sommets, il en résulte cetle construction graphique très-simple:

Formez le triangle qui a pour côtés les doubles des médianes données ; les lignes qui joignent les trois sommets de ce triangle au point de concours de ses trois médianes sont précisément les côtés du triangle cherché.