LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

des formules feraient au besoin retrouver les solutions de la Géométrie.

L’équation bicarrée se ramène pareillement à l’un des types

x'-f-ab oc* — c*d*= 0, a?*— abx*-\-ctd*=0, oc*— abx'— c*d*=Q;

car il est inutile de considérer l’équation x*-\-abx*+c*d*= 0, qui n’a que des racines imaginaires. Si l’on pose xt=cz, ces équations deviennent

On détermine, comme on vient de le dire, les racines z de celles-ci, puis on trouve x par une moyenne proportionnelle entre c et z.

CONSTRUCTION DES SOLUTIONS DE DEUX ÉQUATIONS A DEUX INCONNUES L’UNE DU SECOND DEGRÉ ET L’AUTRE DU PREMIER DEGRÉ.

385 — Ces deux équations sont de la forme

(1) Ax’+Bxjy+Cy’+D.E-f Ey+F =0,

(2) Px+Qy+R=0.

L’élimination de l’une des inconnues, y par exemple, conduit à une équation homogène en x du second degré, dont les racines s’obtiennent d’après les constructions précédentes. Quand les deux valeurs de x sont connues, on détermine les deux valeurs correspondantes de y par la formule

l’équation (1 ) représente une courbe du second degré, l’équation (2) une ligne droite; donc les points de rencontre d’une courbe du second degré et d’une ligne droite s’obtiennent par la règle et le compas , sans qu’il soit nécessaire de construire la courbe.

Nous avons donné (livre III, chapitre vm) la construction à l’aide de laquelle on obtient ces points.

CONSTRUCTION DES RACINES DE L’ÉQUATION DU TROISIÈME OU DU QUATRIÈME DEGRÉ.

386— Considérons deux équations à deux inconnues x et y

chacune d’elles définit une courbe.

Au système de ces deux équations, on peut substituer une infinité de systèmes équivalents; prenons en particulier le système

formé de l’une des équations proposées et de celle que l’on obtient en éliminant entre elles la variable y. Les racines réelles de l’équation (3) sont, en général, les abscisses des points communs aux courbes (!) et (2). Cependant si le système des équations (1) et (3) était vérifié par un couple de valeurs de la forme x—z, y=p-f-y*, dans lequel les quantités a, fi, y sont réelles, ces valeurs vérifieraient le système des équations (t) et (2); mais la quantité a ne serait pas l’abscisse d’un point commun aux deuxeourbes. L’exception que nous venons designaler ne se présente jamais lorsque l’équation <? (x,y)=0 est une équation algébrique ne renfermant la variable y qu’au premier degré.

387 — L’équation à une seule inconnue

qu’il s’agit de résoudre, étant donnée, on peut choisir d’une infinité de manières différentes les courbes déterminées par les équations (1) et (2). La seule condition à remplir, c’est que l’élimination de y entre les équations (I) et (2) donne l’équation proposée. Une première combinaison est

elle revient à considérer les valeurs de l’inconnue comme étant les abscisses des points de rencontre de la courbe