L1V IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

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avec l’axe des x. Cette combinaison est rarement la plus simple. On démontre en algèbre que si on élimine une inconnue y entre deux équations algébriques à deux inconnues dont les degrés sont m et n, l’équation en x est généralement du degré mn. Par conséquent, si l’équation proposée est algébrique et que l’on veuille obtenir ses racines par des intersections de courbes algébriques, le produit des degrés des équations des deux courbes devra être égal au degré de l’équation à résoudre. Nous allons appliquer la méthode à la résolution de l’équation du quatrième degré.

388— L’équation du quatrième degré se ramène aisément à la forme

(1) x^+px^qx+r^O ;

on peut la considérer comme provenant de l’élimination de y entre les deux équations du second degré

(2) x * — wty=0,

(3) m}y*+pmy+qx+r=Q,

qui définissent chacune une parabole. L’équation (2) ne renfermant y qu’au premier degré, toutes les racines réelles de l’équation (!) sont des abscisses de points communs aux deux courbes.

On peut remplacer la parabole (3) par une autre courbe du second degré passant par les points communs aux courbes (2j et (3). L’équation générale des courbes du second degré satisfaisant à cette condition est

(4) lxi+miy't -{-qx-\-m{p— X)ÿ-f r — 0,

X étant un paramètre arbitraire. Si l’on pose la courbe

(4) ne pourra être qu’une circonférence de cercle. On obtient les coordonnées a et p du centre et le rayon K de cette circon-

férence par les formules

que l’on construira, si les coefficients des équations ne renferment que des irrationnelles du second degré.

Lorsque la valeur de R* est positive, l’équation (4) représente br. 23

effectivement un cercle, et les racines réelles de l’équation (1 > sont les abscisses des points de rencontre de ce cercle et de la parabole (2). Lorsque R’ est négatif, l’équation (4) n'ayant pas de solutions réelles (n° 85), il en est de même du système des équations (3) et (2) ou du système équivalent des équations ( 1) et (2) ; les quatre racines de l’équation proposée sont imaginaires.

3 89— Considérons maintenant l’équation du troisième degré ramenée .à la forme

x,-\-px-\-q = o.

Si l’on multiplie par x, ce qui introduit la racine æ=0, dont on ne tiendra pas compte, on obtient l’équation du quatrième degré

x‘-fp.r*+qx = 0 ;

à laquelle on appliquera la méthode précédente. La valeur de R1 étant égale à est toujours positive. Le cercle et la parabole passent à l’origine des coordonées; l’abscisse de ce point est la racine 0, que l’on doit écarter.

La même parabole x * — my= 0 peut servir pour la résolution de toutes les équations du troisième ou du quatrième degré ; le cercle seul change suivant les valeurs des coefficients de l’équation proposée. Cette méthode ne peut être employée, avec avantage, que lorsque l’on doit résoudre successivement un grand nombre d’équations; alors on trace avec beaucoup de soin une parabole ayant un paramètre arbitraire; et, dans chaque exemple particulier, il ne reste plus qu’à déterminer le cercle.

CONSTRUCTION DES SOLUTIONS DE DEUX ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ A DEUX INCONNUES.

390 — L’élimination de y entre deux équations du second degré à deux inconnues x et y conduit en général à une équation du quatrième degré en x, dont il est impossible de construire les racines par la règle et le compas. Cette construction pourra se faire comme nous l’avons vu, au moyen d’une parabole et d’un cercle; cependant, si la courbe représentée par