LIV. IV, CHAP. VI.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

l’une des équations proposées est déjà tracée, on préfère s’en servir pour la résolution.

Exemple I. — Mener une normale à une parabole par un point donné P. Soit

(t) ÿ*=2 px

l’équation de la parabole, as, et y, les coordonnées du point P; si l’on désigne par as et y les coordonnées du pied M de la normale, par X et Y les coordonnées courantes, cette normale a pour équation

Fie- 2I7- Comme elle doit passer par le point p,

on a la relation

y —y—— ou

(2) xy = (xl—p)y+pyl,

qui, jointe à l’équation (1), détermine les inconnues as et y. On aurait donc à considérer l’intersection de la parabole par une hyperbole.

Si l’on multiplie les deux membres de l’équation (2) par y, et si l’on remplace y* par 2 pas, on obtient une autre parabole

(3) as,=(as1— p)x+^y.

Enfin, en ajoutant membre à membre les équations (2) et (3), on obtient un cercle

(4) x'+y'=(xt+p)x+ -y.

Ce cercle, par son intersection avec la parabole donnée, déterminera le point M.

Exemple II. — Mener une normale à une ellipse par un point donné P. Soit

l’équation de l’ellipse; en conservant les mêmes notations que dans l’exemple précédent, on voit que le pied M de la nor-

male est déterminé par l’intersection de l’ellipse et de l’hyperbole

(•2) c'xy = atxly — b'yl x.

L’élimination de y conduit à l’équation

(3) x‘ — 2— x, jr'-j- - .(a*#; +b'yt. — c‘)af -f2^r x.x — — vjt’=;üc* c c c

Si l’on élimine y entre l’équation (1) et celle du cercle

on trouve

(3)jD*-^4^tfleFs-l-^(4a,a,+46,p,-f-2c,pV,~4^p,«-F+^;(P‘— 46'p*)=0,

en posant pour abréger

On ne peut pas en général identifier les équations (3) et (5); car on aurait quatre équations entre les trois paramétres arbitraires a, p, r; mais si l’on remplace dans l’équation (3) r par mx, m étant un nombre arbitraire, l’identification devient possible. On l’opère en posant

(7) 2*-^. Aa'**+lb'p'+*c'p'=;^(a*X*+byt-c'),

d’où l’on tire

a’ ap J mr:

a3xf+c‘

fi’t/î+c*

Désignons en outre par f et g les deux quantités

la valeur de m* devient

et les formules précédentes se construisent facilement.

Les abscisses des pieds des normales ne sont pas les mêmes (jue celles des points de rencontre de l’ellipse et du cercle, mais on les obtient en multipliant les dernières par m.

Si le point P vérifiait l’cquation

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LIV. IV, CIIAP. VF.— DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS. 357 a*xî = 6’?/î ou yi^z±~xl,

on aurait m=i ; donc les points desdeux droites ÿ,=±: xt

jouissent de cotte propriété que les pieds des normales menées par chacun d’eux sont situés sur une circonférence de cercle.

Il est des cas où la construction des solutions de deux équations du second degré à deux inconnues peut être effectuée avec la règle et le compas; nous avons déjà signalé ces cas particuliers quand nous nous sommes occupés de l’intersection de deux courbes du second degré.