LIV. I, CHAP. II.— EXEMPLES

un moment où la corde AD' est égale à a; alors le point M vient en M', le point N en A; on voit de plus (jue la branche HNA est tangente en A à la droite AD'; car, lorsque AD tend vers AD', la corde AN devient nulle, et le point N se confond avec A.

Quand la sécante continue a tourner et occupe une position telle que AD", le point M vient en M"; mais comme D"A est plus petite que a, le point N dépasse A et vient en N".

Lorsque la sécante a tourné d’un angle droit, AD devient nulle, et l’on a AM'"=AN,/'=a. Ainsi quand la sécante tourne d’un angle droit à partir de AB, les points M et N engendrent deux arcs, l’un GMM"', l’autre HNAN'". Si la sécante tourne d’un angle droit de l’autre côté de AB, on aura deux arcs symétriques des premiers par rapport à l’axe AB, et qui se raccorderont avec ceux-ci , de manière à former une courbe continue.

35— Si l’on prend A pour pôle, et AB pour axe polaire, on a

p = AD ± a = b cos «> ± a.

Pour que cette équation représente la partie AN"N"' de la courbe, il faut convenir de porter les valeurs négatives de p sur le prolongement en sens inverse de la direction déterminée par l’angle o>. Mais nous verrons plus tard que, grâce à cette convention, l’équation

(1 ) p = b cos <» -)- « représente la courbe tout entière.

En coordonnées rectilignes, si l’on prend le point A pour origine, le diamètre AB pour axe des x, une perpendiculaire pour axe des y, l’équation de la courbe est

(2) (x* +y*—bx)t=a'{x' + yi).

On l’obtient en remplaçant dans l’équation (1) cos w par sa

OC

valeur — -, puis p* par x’ + y’ (n° 29), et élevant au carré P

pour faire disparaître le radical.

36 — On obtient cette même courbe par un autre procédé.

Étant donné une cercle GH et un point fixe A, imaginons qu'une tangente mobile CM roule sur le cercle, et du point A abaissons une perpendiculaire AM sur cette tangente (flg. 24). Cherchons le lieu du point M.

Supposons que la tangente touche d’abord le cercle en G ; alors la perpendiculaire abaissée du point A coïncide avec le diamètre AG et le point G est un point du lieu. La tangente roulant sur le quart de cercle GCC', le point M décrit l’arc de courbe GMM'. La tangente s’incline ensuite jusqu’à la position C"A, et l’on a l’arc de courbe M'A. La tangente continuant son mouvement suivant C'Tl, le pied de la perpendiculaire tombe au-dessous du diamètre et l’on a l’arc de courbe ANH. Nous avons fait rouler la tangente sur le demi-cercle GC'H; en la faisant rouler sur le demi-cercle inférieur, on obtiendra une partie symétrique de la première.

37 — 11 est facile de construire géométriquement la tangente en un point quelconque M de la courbe (fig. 25); soient CM et C'M' deux tangentes voisines du cercle, L leur point de rencontre, AM et AM' les perpendiculaires abaissées du point A sur ccs tangentes; la circonférence décrite 9ur ALcomme diamètre passe par les deux points M et M', et la sécante MM' de la courbe est aussi une sécante de ce cercle. Si maintenant on suppose que le point C’ se rapproche indéfiniment du point C, le point M’ se rapprochera du point M; le diamètre AL devient AC; la sécante MM' devient tangente en M au cercle décrit sur le diamètre AC. Ainsi , en joignant le point M au milieu D de AC et menant une perpendiculaire MT à DM, on aura la tangente à la courbe au point M. Au point multiple A (fig. 2T),

Fig. Î5.