DROITE PASSANT PAR DEUX POINTS DONNÉS

425 — Les équations (2) représentent une droite quelconque passant par le point M; cette droite passera par un second point M' ayant pour coordonnées x", y" , z", si les conditions x" — x’=za (z" — z'), fi" — f/=b ( z " — z') sont vérifiées ; on en déduit

xf’—xf b y " — y 1

AF M Ât *“ A*

et la droite cherchée a pour équations

rrJf yl' 1 J

(3) x-x' = (s-zf), y-y1 (z-z'),

À) — A! AF Af

ou plus simplement

x — cd y—;/ z—z'

x/' — xf y " — y' z" — z'

On obtient immédiatement les équations (2) et (3), en remarquant que, lorsqu’une droite passe par un point , les projections de la droite passent par les projections du point.

INTERSECTION D’UNE DROITE ET dT’N PLAN.

420— Les coordonnées du point de rencontre d’une droite et d’un plan s’obtiennent, comme celles du point de rencontre de trois plans, par la résolution de trois équations du premier degré à trois inconnues. Si les équations de la droite sont, x=az + p, y=bz + q.

et celle du plan

Aar + By-f C3 + D=0,

LIV. V, CHAP. III.— DE LA LIGNE DROITE. 391 en éliminant a; et y, on obtient de suite la coordonnée z du point d’intersection

Ap+By+D

Aa4-B6+C

Si l’on a

(5) Aa + B& + C=0,

la valeur de 3 devenant infinie, le point de rencontre s’éloigne à l’infini et la droite est parallèle au plan.

Si l’on a en même temps

(0) Aa+B6+C=0,

Ap + Bq4-D=:0,

la valeur de z est indéterminée, la droite a une infinité de points communs avec le plan, c’est-à-dire qu’elle est située dans le plan. La première des conditions (G) exprime que la droite est parallèle au plan ; la seconde que la trace de la droite sur le plan des xy , trace qui a pour coordonnées (p, q ,0) , est située dans le plan.