PLAN DONNÉ

430 — Soient

j Ax -}- B y -f- Cz -j- D xx 0,

( A'x+B'y+C’s+D'rrO, les équations de la droite donnée,

celle du plan donné. Le plan cherché, passant par la droite, a une équation de la forme

Ax + By + Cz + D + X (A'x + B' y + C'z + DO = 0.

L1V. V, CHAI». III — DE LA LIGNE DROITE. 303 Ce plan sera perpendiculaire au plan donné, si la condition A" (A + XA') + B" (B + XB') + C" (C + XC')=0 est vérifiée (n0^), les axes étant supposés rectangulaires; on en déduit

et le plan cherché a pour équation ( 1 0) (A'A"+B' B"+C'C")(AH-B(/-f Cî+P)=( A"A+B"B+C''C)( \ix+H'y+C î+D ') .

Les trois plans donnés forment un trièdre; par l’une des arêtes nous avons mené un plan perpendiculaire à la face opposée. Les plans menés par chacune des autres arêtes perpendiculairement à la face opposée ont de même pour équations (A,'A+B’'B^-C'C)(A'a■-l-B'ÿ-|-C'2-^-ü')=(.AA'-^-BB'+CC';(A''x-^-B''ÿ+C''s-^-D,'), (AA‘-l-BB,q-CC')(A''x+B''ÿ+C’'i-l-D")=(A'A''-f-B/B"-|-0'C''j(Ax+B|/-l-Cs-l-D). En ajoutant les deux premières équations membre à membre, on trouve la troisième ; on en conclut que les trois plans passent par une mêmç droite.

ANGLES u’iNE DROITE AVEC LES AXES.

431 — Dans les questions que nous avons traitées jusqu’à présent sur la ligne droite, excepté dans la question précédente, nous n’avons fait aucune hypothèse sur les coordonnées; dans ce qui suit, nous supposerons les coordonnées rectangulaires.

Soient

x—az + p, y — bz+q

les équations d’une droite. La parallèle OL menée par l’origine (lig. 23ü) aura pour équations

x =az, y=bz.

Désignons par a, fi, y les angles que fait la droite OL avec les axes. Prenons sur cette droite un point M, situé à une distance l de l’origine. Les coordonnées x, y, z du point M étant les projections orthogonales de la droite OM sur les axes, on a

X — l COS a , y — lcosfi, Z=lcOS‘{,

et par suite

COS a COS p COS Y

Le point M étant sur la droite OL, on a x=az, y—bz; on en déduit

cos a cos p cos y

az bz z

ou, en multipliant par z ces rapports égaux,

cos a cos ^ cos y

Chacun de ces rapports étant égal au rapport

t^COS* a-j^COS* P+COS’y 1

on a les formules

cosa

cos p