SPHÈRE

444— La surface de la sphère, étant le lieu des points distants du centre d’une quantité constante égale au rayon, a pour équation, en coordonnées rectangulaires,

Si, à l’équation d’une sphère, on joint celle d’un plan, on aura les équations de la ligne d’intersection, c’est-à-dire d’un cercle dans l’espace.

EXERCICES

1° Étant donné un système de trois axes rectangulaires et un point sur chacun des axes; trouver en fonction des coordonnées des trois points, 1° les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle qui aurait pour sommets les trois points, 2« les coordonnées du centre du cercle inscrit dans le même triangle.

2° Une ellipse et une hyperbole sont disposées dans deu plans rectangulaires, de façon que les sommets do l’une des courbes sont les foyers de l’autre ; démontrer, 1° que, si l’on joint un point quelconque de l’ellipse à deux points fixes de l’hyperbole, la somme des rayons vecteurs est constante lorsqu’il y a un des points fixes sur chacune des branches de l’hyperbole, et que la différence des rayons est constante lorsque les deux points fixes appartiennent à la même branche de l’hyperbole ; 2° que, si l’on joint un point quelconque d’une branche de l’hyperbole à deux points fixes de l’ellipse, la différence des rayons vecteurs est conslante.

3° Démontrer que, si par chacune des arêtes d’un angle trièdre et la bissectrice de la face opposée , on fait passer un plan, les trois plans ainsi obtenus se coupent suivant une même droite.

4° Étant donné un trièdre et une droite passant par son sommet, par la droite fixe et chacune des arêtes on fait passer un plan qui partage la face opposée en deux angles; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres. (Réciproque. )

5° Étant donné un trièdre, par le sommet on mène un plan quelconque qui détermine sur chaque face deux segments ; démontrer que le produit des sinus de trois segments non consécutifs est égal et de signe contraire au produit des trois autres. (Réciproque.)

6° Trouver l’aire d’un triangle en fonction des coordonnées des sommets, les axes étant rectangulaires.

7® Trouver le volume d’un tétraèdre ayant l’un de ses sommets à l’origine en fonction des coordonnées des trois autres sommets.

8° Démontrer que les trois droites qui joignent les milieux des côtés opposés d’un tétraèdre passent par un même point.

9° Trouver l’équation d’un plan mené par un point de l’axe des x, perpendiculairement à cet axe, les coordonnées étant obliques.

Application à la détermination du centre d’une sphère donnée par son équation en coordonnées obliques, au moyen de plans perpendiculaires aux axes.

40° Les six plans des cercles d’intersection de quatre sphères prises deux à deux se coupent en un même point.