CHAPITRE IV

Génération des Snrrnce».

445— Soient

F (x, y, z, «)= 0, F, (x, y, z, «)=0 les équations d’une ligne renfermant un paramètre arbitraire <*; si l’on fait varier a d’une manière continue, la ligne se meut dans l’espace et engendre une surface. On obtiendra l’équation de cette surface en éliminant le paramètre a entre les deux équations de la ligne mobile (n° 98).

Supposons que* les équations d une ligne mobile F (x, y, z, <*, p)=0, F, (x, y, z, a, p)=0 renferment deux paramètres variables a et p, assujettis à vérifier la relation

Un seul de ces paramètres sera arbitraire, et la ligne, dans son mouvement, engendrera encore une surface dont on obtiendra l’équation en éliminant les deux paramètres a et p entre les trois équations précédentes.

En général , si les deux équations d’une ligne mobile renferment n paramètres variables , assujettis à vérifier n — 1 équations de condition, cette ligne engendrera une surface dont on obtiendra l’équation en éliminant les n paramètres variables entre les deux équations de la ligne et les n — 1 équations de condition.

On donne le nom de génératrice à la ligne mobile qui engendre la surface. On définit ordinairement le mouvement de la génératrice en l’assujettissant à glisser sur certaines lignes fixes, que l’on nomme directrices. Soient f(x,y,z) = 0, fi(x,y,z) = 0

les équations d’une directrice; pour que la génératrice rencontre la directrice, il faut que les quatre équations de ces deux lignes soient vérifiées par un même système de valeurs de x, y, z; si donc, entre ces quatre équations, on élimine

x, y, z, on obtiendra une équation de condition entre les paramètres a, p,... que renferment les équations de la génératrice. Chaque directrice donnera ainsi une équation de condition entre les paramètres variables. Si donc les équations de la génératrice renferment n paramètres variables, il faudra assujettir cette ligne mobile à glisser sur n — 1 directrices.

On appelle surfaces réglées les surfaces engendrées par le mouvement d’une ligne droite. Les équations générales d’une ligne droite renfermant quatre paramètres variables, il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une ligne droite. Parmi les surfaces réglées , nous étudierons particulièrement les surfaces cylindriques, les surfaces coniques et les surfaces conoïdes. *