LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES

dans lesquelles les deux paramètres a et fl sont seuls variables; car, chacune de ces équations étant celle d’un plan qui se meut parallèlement à lui-mêine, la droite d’intersection conserve aussi la même direction. Les deux paramètres a et p sont liés par une équation de condition© (a, p) = 0; l’élimination des deux paramètres a et p donne l’équation de la surface cylindrique

(2) 9 (ax + by+cz + d, a'x + b1 y + c7 z+d')=().

Réciproquement, toute équation de la forme (2) ne peut représenter qu’une surface cylindrique. Si l’on pose, en effet, ax-\-by-\~cz-\-d — <t, a'x + b'y +c,2 + d'=P; l’équation proposée devient

à tout système de valeurs réelles de a et ?, vérifiant cette équation , correspond une droite ayant une direction déterminée; l’ensemble de ces droites forme une surface cylindrique.

Ainsi, l’équalion générale des surfaces cylindriques est une équation quelconque entre deux polynômes du premier degré en x, y, z.

Cependant, il peut arriver que l’équation 9 (a, P)=0 n’admette qu’un nombre fini de solutions réelles; dans ce cas, l’équation (2) ne représente qu’un nombre limité de droites.

448— Supposons que la surface ait pour directrice une courbe plane , située dans le plan XOY (fig. 239), et soit 9 (x, y)=0 l’équation de cette courbe dans son plan. La trace G de la génératrice GH

x=az + a, y=bz -f (3

sur ce plan a pour coordonnées x=9, »/ = ?; cette trace

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

devant appartenir à la directrice, on aura l’équation de condition <p(«, p)=0, et la surface cylindrique sera représentée par l’équation

<f(x — az, y—bz)= 0.

On voit que, si la directrice plane est algébrique et de l’ordre m, la surface cylindrique est aussi algébrique et de l’ordre m.