L1V. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES

(x0 , y0 , z0) ; l’ensemble de ces droites forme une surface conique.

Cependant, si l’équation o(«, B)=0 n’avait qu’un nombre limité de solutions réelles, on n’aurait qu’un nombre limité de droites. Dans le cas où cette équation n’a pas de solutions réelles, il peut arriver que l’équation (3) soit vérifiée parles valeurs x0, y0, z0 ; alors elle représente un point unique.

Quand on place l’origine des coordonnées au sommet du cône , l’équation de la surface conique se réduit à la forme

C’est une équation homogène entre les trois coordonnées x, y, z.

450 — Considérons le cas où la directrice est une courbe plane. Prenons le sommet du cône pour origine des coordonnées, et supposons le plan XOY parallèle au plan de la courbe. Soient z=c,y(x,y)= 0 les équations de la directrice, xzzzaz, y = pz, celles de la génératrice ; la trace de la génératrice sur le plan de la di- -rectrice ayant pour coordonnées z=c, x=ac, y — p>c, pour que ce point G appartienne à la directrice il faut que l’équation de condition s? (ac, pc)z=0 soit vérifiée. En éliminant a et p entre cette équation et celles de la génératrice, on obtient l’équation de la surface conique

Fig. Î40.

On voit que, si la directrice plane est algébrique et de l’ordre m, la surface conique est aussi algébrique et de l’ordre m.

SURFACES CONOÏDES.

451— On appelle surface conoide une surface engendrée

par une droite qui se meut en restant constamment parallèle à un meme plan que l’on nomme plan directeur, et en glissant sur une droite fixe appelée axe du conoïde et sur une seconde directrice quelconque.

Prenons la directrice rectiligne pour axe des z, et supposons le plan XOY parallèle au plan directeur. La génératrice sera représentée par des équations de la forme

La directrice donnera une équation de condition 9 (a, ft)=0 entre les deux paramètres variables a et [3. La surface conoïde aura pour équation

452 —Supposons que l’axe OZ soit perpendiculaire

au plan directeur (fig. 2-41), et que la directrice soit un cercle dont le plan soit aussi perpendiculaire au plan directeur. Faisons passer l’axe OX par le centre C du cercle ; ce cercle parallèle au plan

Pour que la génératrice GH s’appuie surie cercle, il faut que les paramètres a et fi satisfassent à la relation o*p*-f a*=r*.

Le conoïde est donc représenté par l’équation du quatrième degré

xizl+aty* — r,x* = 0.

SI l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan direc-

YOZ aura des équations de la forme

x=a, y'-\- zt=r\