SURFACES DE RÉVOLUTION

453 — On appelle surface de révolution une surface engendrée par la rotation d’une ligne autour d’un axe fixe auquel elle est invariablement liée. Chaque point M de la génératrice décrit un cercle dont le plan est perpendiculaire

à l’axe et qui a pour centre le pied P de la perpendiculaire ' abaissée du point M sur l’axe.

/ Les cercles décrits par les diflë-

j ' ' \ rents points de la génératrice

— ~ j ont été nommés les parallèles de

' ' la surface. Les sections faites par

\ / f des plans qui passent par l’axe

sont égales entre elles; ce sont H' les méridiens de la surface. Or-

dinairement on choisit pour Fig. ut. génératrice de la surface une

courbe méridienne.

On peut aussi concevoir une surface de révolution comme engendrée par le mouvement d’un cercle, de rayon variable, dont le centre parcourt une ligne droite, dont le plan reste

Tl 2 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

perpendiculaire à celte droite, et qui rencontre la génératrice donnée.

Supposons d’abord que l’on prenne l’axe de rotation pour axe des z, les coordonnées étant rectangulaires ; un parallèle de la surface sera représenté par des équations de la forme

en exprimant que ce cercle rencontre la génératrice donnée, on obtiendra une équation de condition <p(a,p)=:0 entre les deux paramètres variables a et p. Si l’on élimine a et p entre cette équation et les deux équations du parallèle, on aura l’équation

(6) ?(x,+y,,«) = 0 de la surface de révolution.

454 — Cherchons, par exemple, l’équation de la surface engendrée par une droite AB, tournant autour d’un axe OZ.

Prenons l'axe de rotation pour axe des z, la perpendiculaire commune entre l’axe et la droite AB dans une de ses positions pour axe des y, et une perpendiculaire au plan YOZ pour axe des x.

La droite AB, dans cette position particulière, aura pour équations y = a, x=mz,

a étant la plus courte distance OA, m la Fig. 243. tangente trigonométrique de l’angle ZOB’ que fait l’axe OZ avec la droite OB' parallèle à AB. Pour que le cercle parallèle

rencontre la droite AB, il faut que l’équation de condition ot — m'P’rzra',

que l’on obtient, en éliminant x, y, z entre les équations de la droite et celles du cercle, soit vérifiée; l’élimination des deux paramètres variables a et p entre cette équation de condition et celle du cercle, donne l’équation de la surface de révolution

LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES. M3 (7) x*+y'—m'z'=a\

Si l’on fait y=0 dans cette équation, on obtient la trace de la surface sur le plan XOZ; c’est une hyperbole x*—tn'tzi = a* ,

ayant son axe transverse OD dirigé suivant OX , et pour asymptotes les droites OB' et OC' également inclinées de part et d’autre sur OZ. On peut considérer la surface comme engendrée par cette hyperbole méridienne tournant autour de son axe imaginaire. C’est pourquoi on lui a donné le nom d ’hyperboloïde de révolution à une nappe.

L’équation (7) ne renfermant le coefficient angulaire m qu’au carré, il est clair que la même surface sera engendrée par les deux droites AB et AC, toutes deux perpendiculaires à OA, et également inclinées de part et d’autre sur la droite AZ' parallèle à OZ.

455 — Considérons en particulier le cas où la génératrice est la courbe méridienne que l’on peut supposer placée dans le plan XOZ et représentée par les équations V — O, 4-(x,2) = 0.

Si l’on élimine x, y, z entre les deux équations et celles du parallèle

x%+y' = *, Z=P, on obtient l’équation de condition

L’équation de la surface de révolution est donc

On l’obtient en remplaçant x par ^*,+y1 dans l’équation du méridien.

Par exemple, si la courbe méridienne est l’hyperbole x% — m,2*=a1, l’hyperboloïde de révolution à une nappe aura pour équation

— mizi — at.

Comme second exemple, considérons le tore, c’est-à-dire la surface engendrée par un cercle tournant autour d’un axe situé dans son plan sans passer par le centre. Si l’on prend br. -27

U\ ÜÉOMÉTHIK ANALYTIQUE,

pour axe des s l'axe de révolution, et pour axe des x une perpendiculaire abaissée du centre du cercle sur l'axe, l'équation du cercle dans le plan des xs étant

(x — o)*+x, = r1, celle de la surface sera

4K0— -Supposons maintenant que l’axe de rotation OL passe par l'origine, mais ait une direction quelconque dans l'espace.

Soient

x __ y i abc

les équations de cette droite. Tout paral- / lèle de la surface sera donné par l’intersection d’une sphère décrite de l’origine comme centre et d’un plan perpendiculaire à l’axe; ce cercle sera donc représenté par deux équations de la forme x'+y' + z'=a,

Fîg. ax-\-by-\-cz + d= 6.

En écrivant que le parallèle rencontre la génératrice donnée, on aura une équation de condition ç (a, (5) =0 entre les deux paramètres variables a et p. L’élimination de ces deux paramètres entre cette équation de condition et les deux équations du cercle conduira à l’équation de la surface de révolution (8) y{x'+y'+z', ax-HjH-cz + d)=0.

C’est une équation entre Je polynôme du second degré x’-fy'-f-z* et un polynôme quelconque du premier degré.

Réciproquement toute équation do cette forme représente une surface de révolution autour d’une droite passant par l’origine. Considérons, en effet, la droite OL qui a pour équations

et posons

ax+ôy-fcz-f rf=

LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES. 4K> l’équation proposée (8) devient »'<*, (3) = o. A tout système de valeurs réelles de a et de Jî (a étant positive) vérifiant celte équation, correspond un cercle donné par l’intersection d’une sphère ayant l’origine pour centre, et d’un plan perpendiculaire à la droite OL; le centre du cercle sera situé sur la droite OL et le lieu des cercles formera une surface de révolution autour de cette droite.

Supposons enfin que l’axe de rotation ne passe pas par l’origine ; prenons un point fixe (xe) y,, z„) sur cet axe dont les équations seront

Tout parallèle de la surface sera donné par l’intersection d’une sphère

Or— x„)‘+(y— ?/0)*+(= — ’.)*= * ayant son centre au point fixe, et d’un plan ax+by+cz+d =. p

perpendiculaire à l’axe, l’équation de la surface (je révolution sera donc de la forme

(9) o[(x— ar,)*+(»/— s,)’, a.r-ftu/ + c=-M] = 0.