PLAN TANGENT

457 — Nous commencerons par rappeler un théorème démontré en algèbre ; supposons que les lettres y et ; désignent deux fonctions de la variable x, assujetties à vérifier l’équation (1) f(oct y, =)= 0.

Si l’on désigne par y’ et z' les dérivées de ces deux fonctions par rapport à la variable x, ces deux dérivées sont liées entre elles [tar la relation

En effet, quand y et z sont des fonctions quelconques de la variable x, la fonction f{x, y, z) est une fonction composée du cette même variable, et cette fonction a pour dérivée /l+ÿ'/y-h- I1.-

Si l’on suppose maintenant que les fonctions y et; véiifient l’équation (I), la fonction f {x, y , z) étant constamment nulle,

sa dérivée est aussi constamment nulle, et, par conséquent, les deux quantités y' et z' véritienl l’équation (2).

458 — Cela posé, considérons la surface représentée par l’équation (1). Soit M un point de cette surface ayant pour t coordonnées x, y, s; parle point M traçons sur la surface une courbe quelconque MA; quand le point M parcourt la courbe, \yy / «'eux des coordonnées y et z peuvent être

V ' regardées comme des fonctions de la troi-

FicTiis. sième x; la nature de ces fonctions dépend de la courbe MA tracée sur la surface ; mais elles satisfont constamment à l’équation (t), et par suite leurs dérivées à l’équation (2). Appelons xlt yl , s, les coordonnées d’un second point M, appartenant à la courbe, et voisin du point M; la sécante MM, est représentée par les équations

les lettres X, Y, Z désignant les coordonnées d’un point quelconque de la droite. Quand le point M, se rapproche indéfini-

t/ - îy ^ ___

ment du point M, les rapports — — * — ont pour limites

X j i JC Xf-X

les valeurs des dérivées y' et s' des deux fonctions y et z au point M ; la tangente MT à la courbe au point M est donc représentée par les équations

Ces équations renferment deux paramètres variables y' et z 1 assujettis à vérifier l'équation (2). On obtiendra le lieu des tangentes au point M à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point, en Aminfnt ces deux paramètres entre les deux équations de la tangente et l’équation de condition (2). Ce lieu a pour équation

(3) (X x) fl+(\—y) fl + (Z-z) fl= 0.

C’est un plan qu’on appelle le plan langent à la surface au point M.

La normale à la surface au point M est la perpendiculaire