LIV. V, CHAP. IV.— GÉNÉRATION DES SURFACES

menée par le point M au plan tangent à la surface en ce point. Elle a pour équations

459— Nous avons démontré qu’en général les tangentes aux diverses courbes tracées sur une surface par un point M sont dans un même plan; il y a cependant des exceptions; c’est lorsque les trois dérivées partielles /"£, fc, f'z sont nulles au point M; car alors l’équation de condition (2) devient une identité, et pour trouver le lieu des tangentes, il faut recourir à un calcul plus compliqué. Celte circonstance se présente au sommet d’un cône; les tangentes aux diverses courbes tracées sur la surface par ce point sont les arêtes du cône, et le lieu des tangentes est le cône lui-même. Lorsqu’une surface a un point singulier de cette sorte, le lieu des tangentes en ce point, au lieu d’être un plan, est un cône d’un degré plus ou moins élevé.

460 — Si par le point M on trace deux courbes sur la surface, et qu’on mène leurs tangentes, le plan de ces deux droites est Je plan tangent. Lorsque, par le point M passe une droite située sur la surface, cette droite, étant elle-même sa propre tangente, est comprise dans le plan tangent. Certaines surfaces réglées, parmi lesquelles nous citerons le cylindre et le cône, jouissent de celte propriété que le plan tangent est le même pour tous les points d’une même génératrice. Mais ceci n’a pas lieu pour toutes les surfaces réglées ; considérons, par exemple, le conoïde dont nous avons trouvé l’équation au n°452; les sections par des plans parallèles au plan YOZ sont des ellipses dont l’un des axes est constant et l’autre variable; les tangentes à ces diverses ellipses aux points situés sur une même génératrice GH ne sont pas parallèles, et par conséquent, le plan tangent tourne autour de la génératrice GH quand le point de contact se meut sur cette droite. Par exception, le plan tangent est le même le long de la génératrice DB. En chaque point G de l’axe OZ, il y a deux plans tangents OGH, OGIF.

Nous rappellerons encore que le plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe au point de contact, ou, en d’autres termes, que la normale à la surface est contenue dans le plan méridien.

Une courbe dans l’espace étant définie par l'intersection de deux surfaces, sa tangente sera donnée par l’intersection des plans tangents aux deux surfaces.

EXERCICES

1° L’axe d’un cône de révolution passe à l’origine des coordonnées et fait avec les axes des angles a, p, y ; l’angle du cône est 0 ; trouver l’équation de la surface.

Comme application, trouver tes conditions pour que l’équation du second degré

kx' -f h! y* -(- A "z* + 2B y z + SB ’zx + SB "xy =0

représente un cône de révolution.

2° Étant donné un ellipsoïde de révolution aplati (surface engendrée par une ellipse tournant autour de sort petit axe) ; le cône, engendré par une droite qui tourne autour du foyer de l’une des ellipses méridiennes en s’appuyant sur la section faite dans la surface par un plan passant par la directrice qui correspond à ce foyer, est un cône de révolution.

3° Étant donné un ellipsoïde de révolution allongé (surface engendrée par une ellipse tournant autour de son grand axe), le cône, qui a pour sommet l’un des deux foyers des sections méridiennes et pour base une section plane quelconque, est de révolution.

4U La projection d'une section plane du cône circulaire droit sur un plan perpendiculaire à l’axe mené par le sommet du cône, a pour l’un de ses foyers le sommet du cône, et pour directrice correspondante la droite de rencontre des deux plans.

5° Lorsqu'une section plane d’un cône circulaire droit est une ellipse, la somme des arêtes qui aboutissent aux extrémités d’un diamètre de l’ellipse est constante.