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402 — On sait (n° 35-i) qu’une droite a pour homothétique une droite parallèle. Considérons un plan P et, dans ce plan, une série de droites passant par un même point M; chacune d’elles aura pour homothétique une droite parallèle passant par un point M' homothétique de M. On en conclut que la figure homothétique d’un plan est un plan parallèle.

Si le plan P passe au centre de similitude, il est à lui-même son homothétique.

Puisque deux plans ont pour homothétiques deux plans parallèles, l’angle de deux plans est égal à l’angle des plans homothétiques.

Les sécantes, qui joignent deux points homologues de deux courbes homothétiques quelconques , étant constamment parallèles, on en conclut que les tangentes aux points homologues sont parallèles.

Si l’on trace sur deux surfaces courbes deux séries de lignes homologues qui passent toutes par deux points homologues M et M’, les courbes homologues auront en M et M' des tangentes parallèles ; donc, les plans tangents en deux points homologues de deux surfaces homothétiques sont parallèles.

403 —Si, par deux points fixes, on mène des rayons parallèles, et, dans un rapport constant k , on forme deux systèmes homothétiques ; la démonstration est la même que celle du u° 355. Il en résulte également que deux systèmes homothétiques à un troisième sont homothétiques entre eux ; quand les deux systèmes sont construits avec le même rapport de similitude, on peut les superposer. Ainsi, avec un seul centre de similitude, en faisant varier le rapport k de 0 à oo , on obtient tous les systèmes homothétiques à un système donné. En particulier, si le système donné est compris dans un plan , les centres de similitude extérieurs au plan ne donnent pas d’autres systèmes que les centres compris dans le plan.

404 — Les six centres de similitude de quatre systèmes homothétiques deux à deux sont compris dans un même plan.

Soient A, A', A", A!" les quatre syslèmes donnés ; par les trois centres de similitude O7, 07, O7' des systèmes A et A', A et A", A et A7/ faisons passer un plan P; ce plan, passant par le point CK, est à lui-même son homologue dans les systèmes A et A', il est aussi son homologue dans les systèmes A et A7 ; par conséquent, le plan P est à lui-même son homologue dans les systèmes A' et A"; donc, il passe par leur centre de similitude. Le même raisonnement s’applique aux combinaisons A' et A"', A7 et A'".

Lorsque deux figures à centres sont homothétiques directes, elles sont aussi homothétiques inverses; et réciproquement. La démonstration est la même que celle du n° 357. 11 résulte de là que si les quatre systèmes considérés dans lé théorème précédent ont des centres, on aura six points dans un même plan, en prenant, soit les six centres de similitude eitferttes, soit, d une manière convenable, ‘.rois centrés externes et trois internes.

465 — Le rapport des aires de deux polygones homothétiques étant égal à A1, on voit que le rapport des aires de deux polyèdres homothétiques , et par suite, le rapport des aires de deux surfaces homothétiques quelconques est égal à k*.

Lorsqu’on abaisse des perpendiculaires de deux somrrtcts homologues de deux tétraèdres homothétiques sur les faces opposées, ces perpendiculaires sont deux droites homologues, elles ont pour rapport A, le rapport des bases étant A*, il en résulte que le rapport des volumes de deux tétraèdres homothétiques est égal à k*. Ce dernier théorènie s'applique à deux polyèdres et même à deux solides quelconques homothétiques.

466— Une figure est semblable à une figure donnée lorsque, par un déplacement convenable, elle peut coïncider avec l’une desügures homothétiques à la figure donnée. Il résulte du n° 4<)3 que l’on obtiendra toutes les surfaces semblables à une surface donnée, en prenant arbitrairement Un centre de similitude, et en construisant avec ce centre les diverses sur-

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faces homothétiques qui correspondent aux valeurs de k comprises entre 0 et oo .

Exemple I. La surface donnée est une sphère. Prenons le centre de la sphère O pour centre de similitude; le rayon OA étant constant, le rayon OA' sera également constant; une surface semblable à une sphère esl une autre sphère qui peut avoir un rayon quelconque.

Exemple II. La surface donnée est un cône. Prenons le sommet pour centre de similitude, deux points homologues seront compris sur la même génératrice du cône donné. La seule figure semblable à un cône est ce cône lui-même.

Exemple III. La surface est un cylindre. Prenons un point arbitraire O pour centre de similitude, et traçons sur le cylindre donné une courbe arbitraire C que nous prendrons pour directrice du cylindre. A la courbe G correspond une courbe homothétique C7, et à toute génératrice du premier une droite parallèle passant par le point de celte courbe homologue du point où la courbe C est rencontrée par lu première génératrice; ainsi, deux cylindres sont homothétiques lorsqu'ils ont pour directrices deux courbes homothétiques et leurs génératrices parallèles.

Considérons deux cylindres homothétiques, ayant le point O pour centre de similitude; si l’on mène par ce point une parallèle OO7 aux génératrices des deux surfaces, tout point de cette droite esl un centre de similitude des deux surfaces. Il en résulte que les sections de deux cylindres homothétiques par le même plan sont des courbes homothétiques ayant pour centre de similitude le point où le plan coupe la droite OO7. Comme les sections d'un cylindre par des plans parallèles sont égales, les seclions de deux cylindres homothétiques par des plans parallèles sont homothétiques.

467 — Les .sections d’une surface du second degré par des plans parallèles sont des courbes homothétiques. L’équation générale des surfaces du second degré est

(1) Ar'-f A'ÿ»+AV-j-2Dÿ;+2B 2Cx+-’C'i/+2C'';-fF= 0 ;

on obtient la projection sur le plan XOY de l’intersection de cette surface et du plan

(2) ax-\-by + cz=l,

en éliminant la variable z entre les équations (I) et (2). Or, dans l’équation ainsi obtenue, les coefficients des termes du second degré sont indépendants de l, on en conclut que, lorsque l varie, a, b, c restant fixes, c’est-à-dire lorsque le plan se déplace parallèlement à lui-même, les projections sont homothétiques; les cylindres projectants, ayant pour directrices des courbes homothétiques, sont coupés par deux plans parallèles suivant des courbes homothétiques. Quand ces courbes sont des hyperboles, l’une peut être homothétique à la conjuguée de l’autre (n*>363).