DU CENTRE

409— Un point I est le centre d’une surface lorsque les points de la surface sont placés symétriquement, deux à deux, par rapport à ce point. Comme une ligne droite ne rencontre une surface du second degré qu’en deux points, il faut, pour qu’un point I soit le centre de la surface, que toutes les cordes menées par ce point y soient divisées en deux parties égales.

Lorsque l’origine des coordonnées est centre d’une surface du second degré, l’équation de la surface ne contient pas de termes du premier degré. En effet, les équations d'une droite menée par l’origine sont de la forme

(2) x=mz, y—ny.

Les coordonnées z des points de rencontre de la surface et de la droite sont déterminées par l’équation (3) (Am’+A'a»+A,’+iBn4-2B'«+ap"iB«)**-|-2(Cm-fC'n-l-C')5+F=0, que l’on obtient en éliminant x el y entre les équations (t) et (2). Si l’origine est centre, l'équation (3) a ses racines égales et de signes contraires , ce qui exige que le coefficient Ctn+C'n+C" soit nul; et comme ceci doit avoir lieu pour une infinité de valeurs de m et de n, prises arbitrairement, il faut que l’on ait séparément

La réciproque est vraie.

4TO — D’après cela, pour déterminer le centre d’une surface du second degré, on transporte l’origine en un point I de l’espace, dont nous désignerons les coordonnées par a, b, c,el l’on cherche s’il est possible de choisir ces valeurs de manière que la nouvelle équation ne contienne pas de termes du premier degré par rapport aux coordonnées nouvelles.

Lorsqu’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes, les formules de transformation sont

x=a+x’, y—b+y', z=c+s'; substituons dans l’équation (i) et effaçons les accents, nous aurons

(») A.tJ-f-A/y*-|-A',jJ-f2Bÿî+;B'îx-|-2B'^+T/^(a,6,e)-)-y/^(a,i, c) +ï£.(a, b,c)-\-f[a, b, c) — 0.

Les coordonnées du centre sont donc déterminées par les équations

fu(a,b,ç) = 0, fl (a, b,c)=0, f[a,b,c)= 0; si l’on divise par 2 et si l’on remplace les lettres a, b, c par x, y, z, ces équations s’écrivent

; Ai+B"ÿ+B’:+C =0, .

(5) R''*+A'2H-Bc-f-C'=:0,

Ainsi, on obtient les coordonnées du centre en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de l'équation de la sur face prises par rapport aux variables x, y, z.