L1V. VI, CH AP. I.- CENTRE ET PLANS DIAMÉTRAUX

II. — Deux coefficients sont nuis, par exemple B' et B". L’équation du troisième degré (18) se réduit à

(S- A) [ (S— A7) (S— A")— B M=0; les trois racines sont encore réelles et inégales, et les équations (16) donnent pour chacune d’elles une direction déterminée.

Cependant si la racine A annulait la parenthèse, c’est-à-diré si la relation

était satisfaite, cette racine A serait racine double. Pour cette racine double, les équations (16) se réduiraient à une seule (A7— A)ot'-f-Ba'7=0.

A cette racine double correspondraient toutes les directions parallèles au plan

(A' — A) ÿ-t-Bz=0.

III. — Lorsque les trois coefficients B, B', B77 sont nuis à la fois, l'équation en S prend la forme

et admet pour racines A, A', A". Quand ces trois racines sont inégales, les équations (16) montrent qu’à ces racines correspondent des directions respectivement parallèles à chacun des trois axes coordonnés. Si A=A7, à cette racine double correspondent toutes les directions parallèles au plan des xy. Enfin, si A=A7=A77, à cette racine triple correspondent toutes les directions de l’espace; il y a ici indétermination absolue; car les équations (16) deviennent alors des identités.

Ainsi, en résumé, l’équation du troisième degré en S a toujours ses trois racines réelles. A une racine simple correspond une direction déterminée ; à une racine double toutes les directions d’un plan ; à une racine triple toutes celles de l’espace.

480— Soient (a, a7, a7'), $, p7, p7') les cosinus des angles que font avec les axes des coordonnées les directions qui correspondent à deux racines différentes S et S7. On a, en vertu des équations (16),

Aa+B'/«'4-B'a"=Sot, | A‘S+B''p,+B-p// = S'p,

B"«+AV+Ba"=S« j ! B"p+A'p’+Bp" = S'p',

B' a +B a' + AV= Sa"’ | B’p+Bp' +A"p''= S'P".

Multiplions les premières équations respectivement par p, p', p ", les secondes par a, a!, a", et de la somme des premières retranchons celle des secondes ; il vient (S— S0(aB+a'p'+a''p"):=O, ou

ap-fa/p,+«('/P'/=0.

Donc les directions qui correspondent à deux racines différentes sont perpendiculaires entre elles.

Il en résulte que les directions qui correspondent à une racine double sont toutes perpendiculaires à celle qui correspond à la troisième racine.