NOMBRE DES BLANS PRINCIPAUX

487 — Le plan diamétral des cordes parallèles à la direction (a, a/, a") est donné par l’équation (15)

S(aa:-(-a'y+a"2)-|-(Ca-|-C/a'-(-C//a'0 = O. ■

Il en résulte qu’à chaque direction des cordes donnée par une racine S différente de zéro correspond un plan principal.

Si une racine S est nulle, le plan principal n’existe plus. Cependant si l’on a

l’équation (45) devient une identité, et la position du plan principal est indéterminée; tout plan perpendiculaire à la direction des cordes est un plan principal. Dans ce cas, la surface est cylindrique.

D’après l’équation (14),’ si une racine S est nulle, les cordes ne rencontrent la surface qu’en un seul point.

Il est bon d’observer que l’équation en S a toujours au moins une racine différente de zéro; car les trois racines ne sont égales que si l’on a B=B/=B'/=0; alors ces racines, étant égales à A, A', A", ne sont pas toutes trois nulles, sans quoi l’équation proposée ne serait pas du second degré. On peut d’ailleurs démontrer cette propriété de l’équation (48), indé-

UV. VI, CHAP. II.— RÉD. DE L’ÉQ. DU SECOND DEGRÉ. 4il

pendamment de l'étude que nous en avons faite; en effet, si les trois racines étaient nulles, on aurait, en égalant à zéro les coefficients de S* et de S,

AA'+A'A''-f A"A— B *— B'«— B'*=0 ; si du carré de la première, on retranche le double de la seconde, on a

A,+A's-fA",+2B’+2B's+2B"*=0,

d’où

On conclut de là que toute surface de second degré a au moins un plan principal.

488 — Nous avons vu que, si l’on fait abstraction des cylindres, l’équation du second degré peut être ramenée à l’une des deux formes

(«) M.r,+Ny,+Pz*+F,=0,

(P) Nÿ’+Pz*+Q*=0;

la première convient aux surfaces qui ont un centre unique, la seconde à celles qui sont dépourvues de centre. Si le plan diamétral qui a servi à effectuer la réduction est un plan principal, comme on peut effectuer les réductions ultérieures en prenant dans le plan principal deux axes rectangulaires, l’équation de la surface sera ramenée à l’une des deux formes (a) et (p) eu coordonnées rectangulaires.