CHAPITRE H

Réduction de l'Kqnatlon du «econd degré.

Dans le chapitre précédent, nous avons vu que l’équation du second degré peut se ramener à l’une des formes simples Mx*+Nÿ,+Pz1-1-R = 0, Ny*+P*’+Qx=0,

Ny’+Pz’+R =0,

P;*+Qa;=ü,

Ps* + R =0,

en coordonnées rectangulaires. Il nous reste à indiquer un moyen pratique d’effectuer cette réduction.

• l'r cas. D^O.

489— On commence par transporter les axes parallèlement à eux-mêmes au centre de la surface; l’équation générale du second degré

(1 ) Ax«+ A 'ÿH-AV+SBÿi+î B'îx+2B,,x/,/-f-2Cx-f-20 ^+2C ’î+F =0. devient

(8) A£,+Ay+AV+2B,v3+2B/3£+2B".xy+F1=0 ;

les coefficients des termes du second degré ne changent pas, et nous avons appris à calculer la constante F, (n° 475).

Supposons d’abord les trois racines de l’équation du troisième degré en S différentes entre elles et désignons-Ies par S, S', S"; soient de plus (a, a', a"), (fi, ft"), (y, f, y") les cosinus des angles que font avec les axes les directions qui correspondent à ces trois racines. Si l’on change les axes des coordonnées en prenant ces trois directions pour celles des nouveaux axes, les formules de transformation sont

i X—ZX' + +Y Z1,

(3) ] y=<x'xl+ py+y'z',

( 3=aV+fjy+TV, et l’équation de la surface aura la forme

M^*+Ny/1+P*M-1-F1=0,

puisqu’elle ne doit plus contenir les produits des variables. Mais on a

M=A«?+AV‘-|-AV'*-f2BaV'+2B'a//c^2B'W, c’est-à-dire M= S (n° 480). Par la même raison on a N=S' et P=S". Ainsi, dans ce cas, l’équation réduite est (4) Sx'*+S/y/î+S',z's+F1==0.

490 — Il est facile de vérifier que les coefficients des rectangles des variables dans la nouvelle équation sont nuis. Prenons par exemple le coefficient B," du terme en x’y' . Ce coefficient est

B1''=A/9y+Ay/-t-AVV'-fB(^/'+y' n+W

L1V. VI, CH AP. II. — HKD. DK L’ÉQ. DU SECOND DEGRÉ. 443 Or on a

Ap+B"p'+B'p,/=S'p,

Si l’on multiplie ces équations respectivement par y, y', y" et que l’on ajoute, il vient

B,*=S'(Pr+PY+PY).

Les deux directions (3, p', p"), (y, y', y") étant rectangulaires, on en conclut que B,',=0. On verrait de même que B^B/zzO.

401 — Lorsque deux racines de l’équation du troisième degré sont égales , à la racine double correspondent une infinité de directions comprises dans un même plan; si l’on prend pour nouveaux axes deux droites rectangulaires comprises dans ce plan et la perpendiculaire au plan, la méthode précédente est applicable et l’on obtient l’équation S Gc' *+y' *) +SV *+F, = 0 ,

qui représente une surface de révolution autour de l’axe OZ'. Enfin, si les trois racines sont égales, en prenant trois nouveaux axes quelconques rectangulaires entre eux, l’équation est toujours

S («'•+*'■+*' •J+F.rrO,

elle ne peut représenter qu’une sphère.

2* cas. D=0.

403 — Dans ce cas, commençons par changer la direction des axes, en prenant pour nouveaux axes les directions qui correspondent aux racines de l’équation du troisième degré, ou , si cette équation a des racines égales, un des systèmes en nombre infini de trois directions rectangulaires déterminées par ces racines. On démontre, comme on l’a fait algébriquement dans le cas précédent, que Bl=BI'=B,"=0; les coefficients des carrés des variables ont encore pour valeurs S, S', S". Si donc une seule racine S est nulle et que l’on prenne pour axe OX'' la direction déterminée par cette racine, l’équation de la surface est

Ml GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

S'y' J+S"z' ,+2C,x'+2C1/y'+2Cl"z'+F=0.

Les coefficients C, , C/, C," ont pour valeurs C, ^^Ca-j-C a/-|-C’'a//,

C,’=Cp+C'P'+C"p",

c.^Cy+C'yVcv-

En déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramène l’équation précédente à la forme

S'y,+S/'z’-f2C,a:=0, si C, est différent de zéro, et à la forme

si C, est nul. Le coefficient C, qui subsiste dans l’équation réduite est celui qui correspond à la racine simple S— O.

493 — Si deux racines S et S' sont égales à zéro, par la première transformation l’équation devient

S'z',+2Clx' + 2 C,'y'+2C1"z'-j-F=0.

Nous avons vu que les relations qui existent entre les trois cosinus de l’une des directions qui correspondent à la racine double S=0 se réduisent à deux. Pour déterminer l’une de ces directions , on peut joindre à ces deux équations une troisième prise à volonté ; nous prendrons

de cette manière on aura C/ = 0. L’autre direction sera ensuite complètement déterminée, ainsi que le coefficient C,. Cela posé, en déplaçant les axes parallèlement à eux-mêmes, on ramènera l’équation à la forme

S"z,+2C,æ-=0, si C, est différent de zéro, et à la forme S"z‘ + R=0,

si C, est nul.