CHAPITRE III

De l'Ellipsoïde.

494 — Nous avons ramené l’équation des surfaces du second degré qui ont un centre unique à la forme S*,-{-Sy-fS'V=H,

en rapportant la surface à ses trois plans principaux.

Supposons d’abord que les trois racines aient le même signe, par exemple le signe +. Si le terme constant H est négatif, l’équation n’est vérifiée par les coordonnées d’aucun point de l’espace. Si le terme constant H est égal à zéro, l’équation n’est satisfaite que pour x=y—z= 0; elle représente un seul [joint, l’origine. Considérons enlin le cas où II est plus grand que zéro, et posons

l’équation se met sous la forme

La coordonnée x ne peut varier que de — a à + a, y de — b à +6, s de — cà+c; prenons sur l’axe des x, de part et d’autre de l’origine, des longueurs OA et OA' égales à a, sur l’axe des y deux longueurs OB et OB' égales à b, sur l’axe des : deux longueurs OC et OC' égales à c (flg. 247). Par les points A et A', B et B’, C et C', imaginons des plans respectivement parallèles aux plans YOZ, ZOX, XOY, la surface sera entièrement comprise dans le parallélipipède rectangle ainsi formé. On a donné à cette surface le nom d 'ellipsoïde.

49$ — L’origine est un centre de l’ellipsoïde. Les plans coordonnés, qui sont les trois plans principaux de l’ellipsoïde, coupent la surface suivant trois ellipses ABA',BCB', CAC', que l’on appelle sections principales de l’ellipsoïde.

br. 2‘J

Ul) GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan YOZ,

on obtient pour section l’ellipse

dont le centre I est sur l’axe des x. Les points de la courbe étant deux à deux symétriques par rapport au centre I, les points de la surface sont symé- F|e- î47- triques deux à deux par rapport

à la droite OX, qui est ainsi un axe de la surface. A mesure que le plan sécant s’éloigne du plan principal YOZ, c’est-à-dire quand x varie de 0 à a, l’ellipse d’intersection reste toujours semblable à l’ellipse CBC', mais diminue jusqu'à se réduire à un point. 11 en est de même des sections parallèles à chacun des deux autres plans principaux. Ainsi l’ellipsoïde admet trois axes qui sont les intersections des plans principaux deux à deux. Les extrémités des axes sont les sommets de l’ellipsoïde. Si l’on suppose a>è>c, '■2a sera l’axe majeur, 2 b Taxe moyen, 2c l’axe mineur.

Il est clair qu’un plan quelconque coupe l’ellipsoïde suivant une courbe fermée; cette courbe du second degré est une ellipse. Coupons la surface par un plan quelconque mené par le grand axe AA' (flg. 248); à cause de la symétrie, l'ellipse d’intersection admettra pour axes, d’une part la droite AA'jd’autre part le diamètre DI)', suivant lequel le plan sécant

coupe l’ellipse principale CBC'!!'; ce sera donc une ellipse avant AA’ pour grand axe et DD' pour petit axe. 11 en résulte que le demi grand axe OA est le plus grand rayon de l’ellipsoïde.

De mème,un plan quelconque mené par le petit axe CC' couellipse, ayant pour petit axe CC'

FiC. as.

pera la surface suivant une