LIV.VI, CHAP.llf.— DE L’ELLtPSOIDE. W
et pour grand axe le diamètre RE', intersection de l’ellipse principale ABA' et du plan sécant. Il en résulte que le demi petit axe OC est le plus petit rayon de l’ellipsoïde.
De même encore, un plan mené par l’axe moyen BB' coupera la surface suivant une ellipse ayant pour axe3 la droite BB' et l’un des diamètres de l’ellipse principale ACA'; mais ici ce second axe sera tantôt plus grand que BB', tantôt plus petit; il peut même devenir égal à BB', et dans ce cas la section sera un cercle.
PLANS DIAMÉTRAUX.
497— Considérons une série de cordes parallèles à la droite
le plan diamétral correspondant (n» 471) a pour équation
Üü 4- 11 a* b1 cs
Réciproquement, tout plan passant par le centre est un plan diamétral; soit le plan
A x-j-Bÿ-f-C * — 0 ;
ce plan coïncidera avec le plan diamétral précédent, si l’on a
(3) JL — JL — JL .
Telles sont les relations qui existent entre la direction des cordes et celle du plan diamétral conjugué. Il est évident que le plan diamétral coupe la surface suivant une courbe fermée du second degré et par conséquent suivant une ellipse. Chaque point de cette ellipse est le point de contact d’une droite parallèle aux cordeset tangente à la surface ; ces tangentes forment un cylindre tangent à l’ellipsoïde tout le long de cette ellipse et l’enveloppant.
DIAMÈTRES
498 — Nous savons que les sections faites par des plans
parallèles dans l’ellipsoïde sont des ellipses homothétiques (n° 407) ; cherchons le lien des centres de ces ellipses. Soit Ax-j-By-j-Ci — i }
l’équation d’un plan, dans laquelle A, B, C sont des coefûcients constants, l un paramètre variable. Si l’on élimine s entre cette équation et celle de l’ellipsoïde, on a l’équation de la projection de la courbe d’intersection sur le plan XOY, fÇ* , (Aa+By— /)»
Le centre de cette courbe se projette au centre de la courbe projection ; ce dernier point est donné par les deux équations
x , A(Ax+By — /) n
y H[\x+By — l)
en y joignant l’équation du plan sécant, on a le centre de la courbe dans l’espace. Si entre ces trois équations on élimine le paramètre variable l, on obtient le lieu des centres x y z
C’est une droite passant par le centre. On a donné à celte droite, lieu des centres des sections parallèles, le nom de diamètre.
La direction du diamètre est conjuguée du plan diamétral parallèle aux plans sécants; car les coefficients de la droite et du plan vérifient les relations (3).
Réciproquement, toute droite menée par le centre est un diamètre; car si l'on mène le plan diamétral conjugué de cette direction, et des plans sécants parallèles, le lieu des centres coïncidera avec la droite donnée.
