DIAMÈTRES CONJUGUÉS

500— On dit que trois diamètres forment un système de diamètres conjugués , quand chacun d’eux est conjugué du plan des deux autres. Nous avons déjà reconnu l’existence de pareils systèmes de diamètres (n° 479); menons arbitrairement un premier diamètre OD et considérons le plan diamétral conjugué; ce plan coupe l’ellipsoïde suivant une ellipse; prenons deux diamètres conjugués quelconques OE, OF de

cette ellipse; les trois diamètres OD, OE, OF formeront un système de diamètres conjugués; car si l’on prend pour axes des coordonnées les trois droites OD, OE, OF et que l’on appelle a1, b1, c' les longueurs des trois rayons OD, OE, OF, d’après le raisonnement qui a été fait précédemment, l’équation de l’ellipsoïde se mettra sous la forme

ait ^ J,/* T dt

On en conclut que les trois axes des coordonnées forment un système de diamètres conjugués, ou, ce qui revieni au même, que les trois plans des coordonnées forment un système de plans diamétraux conjugués.

On voit bien, à l’aide de cette équation, comment varient

les sections parallèles; si l’on coupe la surface par un plan parallèle au plan diamétral Y'OZ', on a une ellipse

r 4. fl

homothétique à l’ellipse diamétrale EOF et ayant son centre au point I sur le diamètre OD; celle ellipse \aen diminuant à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan diamétral; elle se réduit au point D, quand le plan sécant passe par ce point et alors le plan est tangent à la surface; au delà le plan ne rencontre plus la surface; en d’autres termes, il la coupe suivant une ellipse imaginaire dont le centre est réel et situé sur le prolongement de OD. 11 en est de même de l’autre côté.

501— Cherchons maintenant les relations qui existent entre les directions des trois diamètres conjugués OD, OE, OF. Désignons par a, p, y les coefficients du premier diamètre, par a', p', y' ceux du second, par a", p", y” ceux du troisième. Le plan conjugué du diamètre OD a pour équation

+ M + If = o-

ce plan contenant le diamètre OE, on a la relation

On obtient ainsi les trois relations

+üL+jrç:=o „« ~ /,« < Cî ’ >

qui expriment que chaque diamètre est conjugué du plan des deux autres.

La première de ces relations signifie que les deux diamètres OD, OE sont conjugués entre eux.

502 — Considérons deux systèmes de diamètres conjugués ODEF, OP'E’F' (fig. 2a0). Soit QG Je diamètre suivant lequel se

Fig. 350.