UV. VI, CHAP. III —DE L'ELLIPSOÏDE

coupent les deux [dans EOF, E OF' , OU et OH' les diamètres conjugués de OG dans ces deux plans. Si, conservant OD, on remplace les diamètres conjugués OE, OF par deux autres diamètres conjugués OG, OII de la même ellipse, la somme des carrés ne change pas; de même, si , conservant OD' , on remplace les deux diamètres conjugués OE', OF' par deux autres diamètres conjugués OG,OH' de laihêine ellipse, la somme des carrés ne change pas. On a alors deux systèmes de diamètres conjugués OGHD,OGH 'D ', qui ont un diamètre commun OG; les deux autres, étant situés dans le plan diamétral conjugué de OG, appartiennent à la même ellipse. Donc la somme des carrés est la même. Ainsi la somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante et par conséquent égale à la somme des carrés des axes.

On démontre de la meme manière que le volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est constant: lorsqu’on remplace le système ODEF par le système ODGH, le volume ne change pas; car les deux parallélipipèdes ont des hases équivalentes, les parallélogrammes EOF, GOH, et même hauteur , la perpendiculaire abaissée du point D sur le plan des hases.

SECTIONS CIRCULAIRES

503— Parmi les sections planes de l’ellipsoïde, il importe d’examiner surtout les sections circulaires. Supposons qu’un plan diamétral coupe l’ellipsoïde suivant un cercle; soit OD le diamètre conjugué; si, dans le plan du cercle, on prend la projection OE de OD et un diamètre OF perpendiculaire à OE, on aura un système de trois diamètres conjugués; or, le diamètre OF est perpendiculaire au plan diamétral conjugué DOE; donc ce plan est un plan principal etOF l’un des axes de la surface. Ainsi les plans

diamétraux qui coupent l’ellipsoïde suivant des cercles, passent par l’un des axes de la surface.

Cet axe est l’axe moyen BB' de l’ellipsoïde; car, nous avons vu (n° 496) que, lorsque le plan sécant passe par le grand axe AA', ou par le petit axe CC', les deux axes de l’ellipsoïde diffèrent nécessairement.

Lorsque le plan sécant passe par l’axe moyen BB', les deux axes de l’ellipse d’intersection sont l’axe BB' et le diamètre DD '

suivant lequel le plan sécant coupe l’ellipse principale ACA'. La longueur de ce diamètre DD' variant de CC' à AA', pourra être égale à BB', et alors la section sera un cercle.

Du point O comme centre, avec un rayon égal à 6 et dans le plan principal ACA' décrivons un arc de cercle qui coupera l’ellipse principale en D et E; menons les diamètres OD et OE ; les deux plans diamétraux BOD, BOE couperont l’ellipsoïde suivant des cercles. On conclut de là que l’ellipsoïde à (rois axes inégaux admet deux séries de sections circulaires.

Quand l’ellipsoïde est de révolution, les deux plans BOD, BOE se confondent avec le plan principal perpendiculaire à l’axe de rotation, c’est-à-dire avec l’équateur de la surface. On n’a plus alors qu’une série de sections circulaires.