LIV. VI, CHAP. IV. — DES HYPERBOLOIDES

étant homogène par rapport à x, y, z, ne peut représenter qu’un système de droites ou un point. Posons

tang <*= tang p= ,

l’équation s’écrira

(i) — — — | — -Ll—

tang 1 a (anj. p

Le plan principal XOZ coupe la surface suivant deux droites 7 OA, OA' faisant avec OZ un angle égal à

^ “> plan principal YOZ suivant deux

droites OB, OB' faisant avec OZ un angle ' Vit T'j y égal à p. Le plan principal XO\T coupe la

\ \ / // surface suivant un seul point 0. Tout plan \U )/ parallèle au pian XOY donne une ellipse

% ^ ABA' ayant pour équation

4 tang1 a ' tang1 fi ' ’

Fig. 253. cette ellipse qui a son centre I sur l’axe OZ, augmente indéfiniment à mesure que le plan sécant s’éloigne du sommet. Ainsi le lieu est un cône que l’on peut considérer comme engendré par une droite OM, qui tourne autour du sommet en glissant sur l’ellipse ABA'. En supposant S plus petit que S' et, par conséquent, a plus grand que p, on voit que l’angle que fait la génératrice 0.U avec l’axe OZ varie de a à p. Le cône est formé de deux nappes égales situées de part et d’autre du sommet. L’équation des cônes du second degré se ramenant à la forme (1), il en résulte que tout cône du second degré peut être considéré comme un cône droit à base elliptique.

Les plans perpendiculaires à chacun des deux autres axes OX et OY coupent le cône suivant des hyperboles ayant leurs centres sur ces axes. Les trois axes des coordonnées sont des

axes du cône; l’un OZ est situé à l’intérieur du cône, les deux autres à l’extérieur. Par rapport à chacun de ceux-ci, un point quelconque du cône a son symétrique sur l’autre nappe;

m GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

par rapport au premier, un point a son symétriquo sur la même nappe.

HYPEMiOLOÏDE A l'NK NAPPE,

505 — Supposons que le terme constant H ait une valeur positive et posons

l’équation de la surface prendra la forme

(2)iL* + ^— ^=t.

Le plan principal XOY coupe la surface suivant une ellipse

ABA; le plan principal XOZ suivant une hyperbole dont A'A est l’axe transverse et OZ l’axe imaginaire, le plan principal YOZ coupe de même la surface suivant une hyperbole dont BB'est l’axe transverse et OZ Taxe imaginaire. Si l’on coupe la surface par des plans parallèles au plan XOY, on a des ellipses homothétiques x 1 y* z ’

1 qui ont leurs centres sur OZ. et qui

Fig. ss*. vont en augmentant indéfiniment

à mesure que le plan sécant s’éloigne du plan principal d’un côté ou de l’autre ; l’ellipse minimum ABA' déterminée par le plan principal s’appelle ellipse de gorge. On voit par là que la surface est formée d’une seule nappe coutinue qui s’étend indéfiniment en s’ouvrant de plus en plus de chaque côté du plan de l’ellipse de gorge. On a donné à cette surface le nom d’ hyperboloïde à une nappe.

Les plans parallèles au plan XOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur OY ; de même les plans parallèles au plan YOZ coupent la surface suivant des hyperboles homothétiques ayant leurs centres sur