LIV. VI, CHAP. IV.— DES HYPERBOLOIDES

OX. Il résulte de là que l’hyperboloïde à une nappe admet trois axes, deux réels AA' et BB-, un imaginaire OZ. Les deux axes réels sont les axes de l’ellipse de gorge; l’axe imaginaire OZ est situé à l’intérieur de la surface.

Lorsque les deux axes réels deviennent égaux, les sections parallèles au plan XOY étant des cercles, la surface est do révolution; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe imaginaire OZ.

HYPEUBOLOÏDE A DEUX NAPPES.

506 — Examinons enfin le cas où le terme constant II a une valeur négative ; si l’on pose

l’équation prend la forme

a’- bt c’

Les deux plans principaux XOZ, YOZ coupent la surface suivant des hyperboles dont l’axe transverse CC' a une longueur égale à 2c et est dirigé suivant l’axe OZ. Le plan principal XOY ne rencontre pas la surface. La section faite par un plan parallèle au plan XOY est une ellipse

at + b' c» ’

mais cette ellipse n’est réelle que si la valeur absolue de z est plus grande que c ; si donc par chacun des points C et C' on mène un plan parallèle au plan XOY, il n’y aura aucun point du lieu situé entre ces deux plans. Si le plan sécant s’éloigne à partir du point C, l’ellipse, qui est d’abord réduite à un point, augmente indéfiniment; et de même de l’autre côté, à partir du point C'. On voit par laque la surface se compose de deux nappes infinies et séparées

l’une de l’autre; on lui a donné le nom d’hyperboloïde à deux nappes. La surface a trois axes, un réel CC', deux imaginaires OX et OY.

Quand les deux axes imaginaires 2 a et 2 b deviennent égaux, la surface est de révolution ; elle est engendrée par une hyperbole tournant autour de son axe transverse CC7.