LIV. VI, CHAP. V — DES PARAR0L01DES

557 — Considérons maintenant deux génératrices DG, EK du même système. Ces droites, étant situées dans deux plans respectivement parallèles au même plan directeur, et par conséquent parallèles entre eux, ne peuvent se rencontrer. Elles ne sont pas non plus parallèles; car leurs projections sur un plan principal ne sont pas parallèles. On conclut de là que deux génératrices du même système ne sont jamais dans le même plan.

Ce qui précède nous permet de distinguer les deux systèmes de génératrices par un autre procédé. Soit DH une droite quelconque située sur la surface ; toutes les droites, telles que DG, EK, qui rencontrent cette droite , constituent l’un des systèmes, par exemple le premier système. Toutes les autres constitueront le second système.

55$ — Nous savons qu’il faut trois directrices pour définir le mouvement d’une droite. Prenons comme directrices trois droites fixes A, B, C appartenant au second système , et par conséquent parallèles au second plan directeur, et supposons qu’une droite mobile glisse sur ces trois directrices, elle coïncidera successivement avec chacune des droites du premier système, et, par conséquent, engendrera le paraboloïde hyperbolique.

On peut aussi définir le mouvement de la génératrice en l’assujettissant à glisser sur les deux droites fixes A et B et à rester parallèle au premier plan directeur. En effet, si par un point quelconque M de la droite A et par la droite B on fait passer un plan, que par ce même point M on mène un plan parallèle au plan directeur, l’intersection de ces deux plans déterminera la position de la droite mobile qui passe par le point M ; elle coïncidera donc avec la droite du premier système qui passe par ce point. II résulte de là que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite mobile qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan, ou bien qui glisse sur deux droites fixes en restant constamment parallèle à un même plan.