LIV.VI, CHAP.V. — DES PARAB0L01DES
parallèles à un inème plan , les trois droites OZ , OG , OH seront situées dans un même plan ; nous prendrons pour axe des x une droite quelconque menée par le point O dans ce plan. Cela posé, la directrice AB est représentée par les équations
(\) y=a, x=az,
et de même la directrice CD par les équations (2) y=ùl , x—a ' z.
La génératrice MN, qui rencontre la droite OZ en P, aura des équations de la forme
(3) y =mx , z=nx + p.
La génératrice rencontrant les deux directrices AB, CD, on a, entre les trois paramètres m, n, p, les deux relations
(4) —=zan + mp,
ce
(o) -2 —a'n-^mp.
En retranchant ces deux relations membre à membre, on trouve
oc a
Ceci nous apprend que le paramètre n a une valeur constante; ainsi la projection de la génératrice sur le plan ZOX a une direction constante ; si l’on prend l’axe OX parallèle à celle direction, on aura n=0,et les équations de la génératrice se réduiront à
y=mx, z— p,
les deux paramètres variables m et p étant liés par la relation
amp=a.
On est ramené au cas précédent; la génératrice MN glisse sur les deux droites OZ, AB, en restant constamment parallèle au plan XOY; elle engendre donc un paraboloïde hyperbolique.
561 — Nous avons trouvé la relation qui existe, dans l’hyperboloïde à une nappe, entre les deux longueurs décrites sur deux droites fixes AB, CD de l’un des systèmes par ime droit
mobile de l'autre système. La relation est beaucoup plus simple n dans le paraboloïde hyperbolique. Soient MN,M'N7,M7/N77(ûg. 273) trois positions quel- \ in'.." conques de la droite mobile ; si par chacune
m l d’elles on mène un plan parallèle au plan
directeur, on aura trois plans parallèles ^ Mf entre eux; or, on sait que trois plans paral-
A‘ *' lèles déterminent sur deux droites AB, CD
Fig. 273. des segments proportionnels ; on a donc la relation
