DEUXIÈME MÉTHODE

566— On forme les équations qui déterminent le centre de la surface. II y a plusieurs cas à distinguer.

1° La surface admet un centre unique. Dans ce cas, pour simplifier, on transporte les axes au centre, et l’équation se réduit à

(f ) Ax '+A,y*+A,'z ’-f-2 B yz + 2 B <zx + 2 IV'a^-fF, = O. Lorsque le terme constant F, est nul, le lieu est un point unique ou un cône. Pour décider la question on fait une section par un plan parallèle à l’un des plans coordonnés ; si la section est une courbe réelle, le lieu est un cône. Si la section est imaginaire, le lieu est un point.

Le cas où F, est différent de zéro se subdivise en deux, suivant que l’équation renferme le carré de l’une des variables ou que les trois carrés manquent. Supposons que le coefficient A", par exemple, soit différent de zéro, et résolvons l’équation (1) par rapport à z, nous aurons

A "z— — (B'x+By) ± / Mx’4-2 N.xÿ+Pyî — A" F, , en posant, pour abréger,

M = B'*— A"A, N=B'B — A'TF', P=B* — AWA'.

Le plan

(2) A"z = -(B'*+By)

est le plan diamétral des cordes parallèles à l’axe OZ. La trace de la surface sur ce plan diamétral se projette sur le plan XOY suivant la courbe définie par l’équation

(3) Ma;*+2N£Cÿ+Pÿ* — A^F, = 0.

Cette courbe admet un centre unique ; car on a N* — MP= — A"D,

D étant le dénominateur ou le déterminant relatif aux équations du centre. En outre le terme constant — A"F, est différent de zéro.

Supposons que le lieu défini par l’équation (3) soit du genre ellipse ; ce lieu sera une ellipse réelle ou une ellipse imaginaire, mais pas un point. Si le lieu est une ellipse réelle, la courbe a pour centre l’origine, et l’on sait que le polynôme

M.r*-f2N.r//4-P»/! — A" F, conserve un signe invariable, lorsqu’on remplace .r et y par les coordonnées d’un point intérieur (ce signe est celui du terme — A''F,) ; pour tous les points extérieurs le polynôme a un signe contraire. Si la quantité — A"F, est positive, tous les points de la surface se projettent à l’intérieur de l’ellipse ; la surface estdonc un ellipsoïde. Si — A"F, est négative, les points de la surface se projetteut en dehors de l’ellipse, et l’on a un hypcrboloïdo à une nappe. Lorsque le lieu est imaginaire, la fonction 2 Nxy-fPty’ — A7/F, con-

serve un signe invariable pour tous les points du plan XOY (ce signe est celui du terme — A''F,) et ne s'annule pas; si — À"Ft est positive, la surface se compose de deux nappes indéfinies séparées par le plan diamétral; c’est un hvperboloïde à deux nappes; si — A"F, est négative, la valeur des étant toujours imaginaire, l’équation (1) n'a pas de solutions réelles.

Supposons actuellement que l’équation (3) définisse un lieu du genre hyperbole ; le terme — A"F, étant différent de zéro, le lieu est toujours une hyperbole, et non le système de deux droites. Si — A^F, est positive, tous les points de la surface se projettent entre les deux branches de l’hyperbole ; la surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Si — A"F, est négative, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Ôn peut remarquer que le signe de la quantité — A"F, indique si l’axe des z est un diamètre réel ou un diamètre imaginaire. Ce diamètre, joint à deux diamètres conjugués de la section, forme un système de trois diamètres conjugués de la surface qui permet de reconnaître immédiatement l’espèce de cette surface. Supposons que la section diamétrale soit une ellipse réelle; cette ellipse admet deux diamètres conjugués réels ; si la quantité — A"F, est positive, le troisième diamètre étant aussi réel, la surface est un ellipsoïde; si cette quantité est négative, le troisième diamètre étant imaginaire, la surface est un hyperboloïde à une nappe. Lorsque la section est une ellipse imaginaire, elle admet deux diamètres conjugués imaginaires; si le troisième diamètre est réel, le lieu est un hyperboloïde à deux nappes; s’il est aussi imaginaire, le lieu