LIV. VI, CHAI». VI. — DISGUS. DES ÉQUATIONS NUMÈR

est un ellipsoïde imaginaire. Supposons maintenant que la section soit une hyperbole; de deux diamètres conjugués de cette hyperbole, l'un est réel, l’autre imaginaire; si le troisième diamètre est réel, la surface est un hyperboloïde à une nappe; s’il est imaginaire, la surface est un hyperboloïde à deux nappes.

Nous ferons encore remarquer que la section diamétrale est la courbe 'de contact d’un cylindre circonscrit à la surface et ayant ses arêtes parallèles à l’axe des s.

Lorsque les trois coefficients A, A', A " sont nuis à la fois, l’équation se réduit à t

(4) 2Bys+2B'#5+2B//Æÿ+F,==0; alors chacun des coefficients B, B', B" est différent de zéro; autrement la surface aurait une infinité de centres. La surface déterminée par l'équation (4) s'étend à l'infini, puisque s est réelle pour un couple quelconque de valeurs de x et de y; cette surface est l’une des deux hyperboloïdes. Le cône asymptote a pour équation

2 By=-f2B'rj"-(-2B'/a!y =0.

Les trois axes des coordonnées sont des arêtes du cône. Si la surface est un hyperboloïde à une nappe, on peut appliquer sur cette surface deux droites parallèles à OZ. Or, les équations d’une parallèle à OZ sont

Pour avoir la coordonnée s du point de rencontre de la droite et de la surface, on élimine gî et y entre les équations (4) et (5), on obtient ainsi l'équation

2 s (Bp+B'a)+2B"«p+F1 = 0.

Pour que la surface soit un hyperboloïde à une nappe, il faut que l’on puisse choisir « et Me manière que l’équation précédente soit vérifiée quelle que soit z, c’est-à-dire de manière que l’on ait simultanément

Bp+B'o^O, 2B,/ap4-F1 = 0.

De ces équations on déduit