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' 50i GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

La surface est un hyperboloïde à une nappe, si

iive, un hyperboloïde à deux nappes, si —

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est négative.

2° La surface est dépourvue de centre. Cette surface ne peut être que l’un des paraboloïdes ou le cylindre parabolique. Si la surface est un paraboloïde, l’un au moins des trois plans coordonnés n'est pas parallèle à l’axe, et donnera une section, elliptique ou hyperbolique suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique. Si la surface est un cylindre parabolique, les sections par les trois plans coordonnés sont des sections paraboliques.

3° La surface a pour centres tous les points d’une droite. La surface est un cylindre ; l’un, au moins, des trois plans coordonnés n’est pas parallèle à son axe; la section du cylindre par ce plan détermine son espèce.

4° La surface a pour centres tous les points d’un plan. Dans ce cas le lieu est l’ensemble de deux plans parallèles, un plan unique, ou l’équation ne représente rien. Pour décider la question, on fait une section par l’un des plans coordonnés non parallèle au plan des centres.

Exemple I. 4x,4-3y’+95,+8a:;4-4Æy-|-4y4-8;-|-9=0.

Les équations qui déterminent le centre sont 3x + y+2= = 0,

Ces équations admettent un système unique de solutions,

x=r» y=— 3, z= — 2. Si l’on transporte l’origine au

centre, le terme constant prend la valeur — 5, et l’équation se réduit à

4a;,+3ÿ’+9z,+8xz+Aa;y — 5=0.

Résolvons celle-ci par rapport à x , on a

2x=— y— 2s± / — 2y' — 5*’4-4ys + 5. L’équation

— 2 y* — 5z’ + 4yz+5=0