LIV. VI, CHAP. VI. — DISCUS. DES ÉQUATIONS NÜMÉR

représente une ellipse réelle ; le terme constant sous le signe radical étant positif, la surface se projette sur le plan des yz à l’intérieur de l’ellipse ; la surface est un ellipsoïde.

Si l’on remplaçait, dans l’équation donnée, le terme constant 9 par 14, la nouvelle équation ainsi obtenue ne représenterait plus qu’un point. Si l’on remplaçait le terme constant par un nombre plus grand que 14, l’équation n’admettrait plus de solutions réelles.

Exemple II.

4a; 1 — 1 5 ÿ *4- 1 4 y z+4z x — 4 xy+ix — 3 4 y+ 2 4 s — 1 8=0. Les équations qui déterminent le centre sont Zx—y + z + 1 = 0,

Elles admettent un système unique de solutions, #= —

ÿ= — 2* "= — *• Lorsqu’on transporte l’origine au centre,

l’équation de la surface devient

4x,+l 5y*+l \yz-\-kzx — 4 xy — 0 = 0.

Celle-ci résolue par rapport à x donne

2 x=y—z±J s’ — 1 4//!— 1 4ÿz+ 0

L’équation

s» — 14ÿ«— 14ÿa+6=0

représente une hyperbole; le terme constant sous le signe radical est positif, par conséquent la surface est un hyperboloïde à une nappe.

Lorsqu’on remplace dans l’équation proposée le terme constant — 18 par —12, on obtient une nouvelle équation qui représente un cône ; si l’on remplace le terme constant par un nombre plus grand que — 12, on a un byperboloïde à deux nappes.

Exemple III.

4xs+4ÿ’ + 42z' — 12ÿz + 4xÿ+4.î:+2y+ 3z=0. Les équations qui déterminent le centre sont

Si l’on relrancbe la première de la seconde, on obtient l’équation

y— 2z = 0, ou

incompatible avec la troisième. L’équation proposée représente donc une surface dépourvue de centre. L'équation de la section de la surface par le plan des xy est

4x* + 4ÿ*+4xy + 4x+2ÿ = 0;

cette section étant une ellipse, la surface est un paraboloïde elliptique. Les équations (a) représentent les plans diamétraux des cordes parallèles aux axes des coordonnées ; deux de ces plans se coupent suivant une droite dont les coefficients angulaires sont — t et 2 ; la droite de rencontre de deux plans diamétraux étant parallèle à Taxe, il en résulte que l'axe a pour coefficients angulaires —1 et 2.

Le plan tangent au sommet du paraboloïde est perpendiculaire à l’axe; lorsque les axes sont rectangulaires, les coordonnées de ce point doivent donc vérifier à la fois l’équation de la surface et les équations

c’est-à-dire,

(fl) — (8x + 4ÿ + 4)=2x + 4ÿ— 6s +1 = 2 4s— 1 2y + 3. Les équations (fs) représentent une droite dont les coefficients angulaires sont encore —1 et 2; cette droite est par conséquent l’axe du paraboloïde.

Exemple IV.

4x’ — 2ÿ* — 1 2sl+ 12ys-f 4xÿ + 4x+2y + 3z = Ü.

Les équations qui déterminent le centre sont