L1Y. VI, CHAP. VI. — DISCL'S. DES ÉQUATIONS NUMÉR. SOT

ix — 2y + 6z + 1 = 0,

Si l’on retranche la seconde de la première, on obtient

cette équation étant incompatible avec la troisième, la surface n’a pas de centre. Le plan des xy coupe la surface suivant une hyperbole définie par l’équation

4x*— 2y, + 4xÿ+4x + 2// = 0; la surface est un paraboloïde hyperbolique. Si les coordonnées sont rectangulaires, les équations de l’axe sont — (8x+4y+4)=— 2y*f6z+2a;-M=— 24z + l2y + 3. Exemple V.

x' + 'ly* -f 4z* — Ayz — '2xy-\-2x — 2 y — 4 = 0.

Les équations qui déterminent le centre sont

En ajoutant les deux premières membre à membre, on obtient la troisième; donc la surface admet pour centres tous les points de la droite

sa trace sur le plan XOY est l’ellipse définie par l’équation af’-f -2 y’ — 2 xy + Vx — 2 y — 4 = 0.

Ainsi, la surface est un cylindre elliptique.

TROISIÈME MÉTHOUB.

567 — Cette méthode est basée sur certaines transformations que l’on peut faire subir à une fonction du second degré à trois variables, et elle revient, comme nous le verrons, à une transformation des coordonnées. Dans ce qui suit, les lettres a, b, c, k désigneront des quantités constantes, et les lettres P, Q, R des fonctions linéaires d’une ou de plusieurs des variables x, y, z.

Considérons en premier lieu un polynôme du second degré à une seule variable x,

(1) Ax’-fBx + C;

le coefficient A étant différent de zéro, on peut écrire le polynôme

et, par conséquent, le ramener à la forme

Soit maintenant un polynôme du second degré à deux variables

(3) Ax^Bxy-HCy’ + Dx-J-Ey+F, dans lequel nous supposerons d’abord que l'un des coefficients de x* et de y* , C par exemple, n’est pas nul. Le polynôme (3), qui est du second degré par rapport à y, ordonné par rapport à cette variable, s’écrit

Cy*-f- (Bx-f Ejy + Ax’-f-Dx+F.

Si on lui fait subir la transformation précédente, il devient

c{y+^^j+Ax^ï)x + ¥-

La seconde partie A*’+ l)x+ F-

(Bx + E)’ 4C

est un polynôme

en x, au plus du second degré, ou une constante. Si elle est du second degré, on la mettra sous la forme ôQ’-j-À ; il en résulte que, lorsque C n’est pas nul, on peut réduire le polynôme (3) à l’une des formes

(4) aP’ + 6U‘ + A-,

(5) aP’ + Q,

(6) aP’ + À-

Lorsque A et C sont nuis à la fois, B est nécessairement différent de zéro, et l’on a

Bxy-f-Dx+Ey-|-F=x ^By + D^+ Ey + F = (x+ 1) (By + °) +

le polynôme prend la forme